Zadania równania różniczkowe (lista 2)

Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych - Lista 2

Zad. 1. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych:

(a)    (1 + y²) dx + xy dy = 0,    (d)    y' = a^x+v (a > 0, a ± 1),

(b)    yjl + y² + yyW 1 + x² = 0,    (e)    e^sin³y + (1 + e^2x)cosy ■ y' = 0,

(c)    e”^y(l + y') = 1,    (f)    y' = sin(x - y).

Zad. 2. Znaleźć rozwiązania szczególne następujących równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych:

(a)    y' sin x-y cos x = 0, y|_x=ę    =    1,    (d)    (xy² + x) dx + (x²y - y) dy = 0,    y\_x=0 = 1,

(b)    yInydx + xdy = 0,    y\_x=1 =    1,    (e)    y + xy' = a{ 1 + xy), y\_x=i = -a,

(c)    y' sin x = y ln y, y\_x=% = e,    (f)    (a² + y²) dx + 2x\Jax - x² dy = 0, y\_x=_a =    0.

Zad. 3. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych jednorodnych:

(a)    xy' = t/(ln y - ln x),    (d)    (3y - 7x + 7) dx - (3x - 7y - 3) dy = 0,

(b)    2x²y' = x² + y²,    (e)    2xy’(x-y²)+y³ = 0, Wsk.:podstawić y = z^1/2.

(c)    (y - x) dx + (y + x)dy = 0.    (f) 4y⁶ + x³ = 6xy^by'. Wsk.: podstawić y = z^1/2.

Zad. 4. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych:

(a)    y' + 2y = e ^x,

(b)    y'-2xy = 2xe^x\

(c)    y'x ln x — y = 3x³ ln² x,

(d)    y' = y tgx + cos.x,

oraz rozwiązania szczególne równań:

(e)    x² + xy' = y, y\_x=i = 0.

(f)    y' cos x - y sin x = 2x,    y|_x=0 = 0,

(g)    y' - ytgx =    y\_x=0 = i.

Zad. 5. Znaleźć rozwiązania ogólne i szczególne następujących równań różniczkowych Bernoulliego:

(a) y' + 2xy = 2xy²,    (d) y' + ^    y\_x=x = 2,

(b) (x³ + e^v)y' = 3x²,    (e) xy' +y = (xy)³/², y\_x=x = 4,

(c) y' - y cos x = y² cos x.    (f) y' = ±y + Xy/y, y\_x=x = 0.

Zad. 6. Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych sprowadzając je do równań liniowych lub Bernoulliego:

(a)    y'-tgy =    (c) yy' + 1 = {x - lje”²#,

(b)    y' cos y + sin y = x + 1,    (d) (x + 2y³)y' = y.

Zad. 7. Rozwiązać następujące równania Riccatiego:

(a)    y'e~^x +y² — 2ye^x = 1 — e²x, y_x — e^x,

(b)    x²y' = x²y² +xy+ 1, y_x = - j.

1

2'

(c)    y' = (y - x)² + 1, yi = l, y(0) =