Matematyka 2 &7

266 [V Równania rtjćniczAowe :wyc:ame

Aby znaleźć rozwiązania tego równania szukamy czynnika całkującego. Ponieważ wyrażenie

P;-Q: _ 2y(\- y)

Q I - xy^:

zależy od obu zmiennych, więc czynnik całkujący postaci p = p(x) nie istnieje. Natomiast wyrażenie

nic zależy od x, zatem istnieje czynnik całkujący równaniu (I) zależny tylko oil zmiennej y, przy czym

P(y) = e^J,,<>M? = e^_ln>

czyli

M(y )=—-

r

Mnożąc obie strony równuma (I) przez czynnik całkujący otrzymujemy

I

(2)

(x -y)dx + (— -x)dy = 0

y*

Jest to równanie zupełne na każdym jednospójnym obszarze, w którym y * 0 i I - xy* * 0 (por. rys. 4.1).

Wyznaczamy, znanym już sposobem, funkcji; pierwotną lewej strony równania (2)

^F(x,y) = i--xy-|.

Rozwiązanie ogólne równania (2) i równania (1) otrzymujemy w postaci uwikłanej. Jest ono określone równaniem

.. 2    i

(3)

xv-- = C.    Ce R.

2 y

Ponadto rozwiązaniem równania (l)jest funkcja stała y = 0. xeK. Zatem wszystkie rozwiązania y = y(x) danego równania są określone równaniami:

x^J    I

~2~~ xy-^ = C, CeR;    y = 0, xeR.

Znajdziemy teraz rozwiązanie szczególne równaniu (I) spełniające warunek początkowy y( —2) = I. Podstawiając x = -2 i y = l w (3). otrzymujemy C = 3. Szukanym rozwiązaniem szczególnym jest funkcja uwikłana y = y( x) określona równaniem

xy—!~3 = 0 2 y

i spełniająca warunek yl~2)— I.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1.    Znaleźć rozwiązanie ogólne oraz naszkicować kilka krzywych całkow'ych równania:

a)    ^X ^óx+{\ + -r ^ _T)dy = 0.

VI ■» x* + y    vl + x‘ +y*

b)    (2x+ln(4-y))dx~~-^dy = 0.

2.    Znaleźć rozw iązanie ogólne równania:

a)    (2x - y cosx + y)dx + (x - sin x )dy = 0,

b)    (2xy-3x^: )dx-ł-(x^: +3y^: -t-l)dy = 0,

c)    (y' + 2x)dx + (3xy^: -2y)dy = 0,

d)    (3x² -2xy-4x + y)dx + (2y + x-x^J)dy=0.

c) (yc * + 2xe^_I )dx-(c‘* +x^:e ^>)dy = 0,

0 (2xe^v f 2e')dx+(xV + 3y^: +2)dy = 0,

g) (— In x + 2xy‘ )dx ~ (2x ‘ > + -)dv = 0.

x    y

3.    Znaleźć lo rozwiązanie równania, które spełnia podany warunek początkowy:

a)    (3x^: - 2xy^: )dx + (2y-2x^:y)dy = 0. y(0) = -2,

b)    (2x-y + l)dx+(2y-x-l)dy = 0. y(0)=ł,

c)    -²4dx-^-^y‘~₄^3x-dy = 0, y(2)= — I,

y y