Matematyka 2 $5

244 IV. Równaniu różniczkowe zwyczajne

9. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podany warunek początkowy:

^{a)y, =} ^rⁱ' ^y(l)=3-    ^b) y^,= y-^v/x''⁺—, y(-D=o.

c) y' = ^~. y(-D = -2.    d) xy*=y(lny-lnx). y(ł)=c^:.

Odpow ledzl Litera C występująca w odpowiedziach o/nacza stalą, która przyjmuje, o ile nie ma innej informacji, dowolne wartości rzeczywiste.

3 aj y-—-J-—. y-0, h) y = Csin2x.x*-^-_t c) v = (C-x)^J dla x<CT; y=0, x**C    2

d)    y = Ce'^:*. c)y=-^-p,y = 0. 0 y = (C + x^: r przy zal. C+x^J >0; y-0.

gl y-C(x-l)^:. x-l. h) y = C<x^: - 4), xt±2 . i) y = —t— Spoprządzenic

In x

rysunków pozostawiamy Czytelnikowi,

6.    ») y*ln(x+C), b) y--2-KV‘ . c) y = 0, y = ^4-^ .

d) y* =C- x‘. -Vc<x<^C» C>0. e) y=±Vx² + 2x>C. y*0,

l)y=-l, z*Hy=-~-, uO, g) y=e^c\ x*0. h)y = 0. y=-—_r,

¹ Lx    C + x-x-

i) y=-|.y=i±gl. j) y^:-2s«nx = C. y#0. k)y^J^y-x = C,

I) y = o. x*l_r y=(C+ln|x-l|)². przystał. C+ln|x-l|>0. ł) y-0, x c(0,c|; y = —=====—. m) y=0, y² + ln|yf-x = C.

n) y = In(x^J-x+C)

7.    a) y=2-3x. x < 1. b) y- -v2x-*2 . x>-l. c) y = e'\ x>0.

d)    y⁼    » x> -Ih-n/J. c)y:c*', xeR, 0 y =-I - x^:. x eR ,

g) y° - 1—, x e(-2.2), h) y = (sinx-^)^J. X6(-J.7it).

V4-x^{7    2    6 6}

X. a) y=x(Cx‘-l)/2. xx0. b) y*^!-r xy-Cx^? =0. x*0. y*-x/2,

c) y = Cx+xlnx². x*0. d) y=xe^1M\ x>0.

e)    y=(CV-l)/2C. C>0, x>0. f) x^:-y*'-Cx = 0. x*0,y*0.

9. a) y = x(l+2x). x>0, b) y = (x^: - l)/2, x <0. c) y= x(lnx*+ 2). x <0.

U) y= xc'⁴¹. x>0

3. RÓWNANIE LINIOWE 1 RZĘDU. RÓWNANIE BERNOULLIEGO.

RÓWNANIE LINIOWE. Równanie różniczkowe postaci

(3.1)    y' + p(x)y = q(x).

gdzie p i q są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale, a y = y(x)jest funkcją niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym rzędu pierwszego

Jest to równanie liniowe względem niewiadomej funkcji y i jej pochodnej y' Gdy q(x)= 0. równanie (3.1) ma postać

(3.2)    y'+p(x)y = 0

i nazywane jest równaniem liniowym jednorodnym. Jeżeli natomiast funkcja q nie jest tożsainościowo równa zeru, równanie (3.1) nazywane jest równaniem liniowym niejednorodnym

Równania

y' + 3y=x^:. y'-xy = sin    y*-ylnx = 0

są równaniami liniowymi, przy czym dwa pierwsze - to równania liniowe niejednorodne, a ostatnie - jednorodne.

Niżej podajemy twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rpzwiazań równania liniowego pierwszego rzędu

TWIERDZENIE 3 l. Jeżeli p i q w równaniu (3.1) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a,b), to dla dowolnej pary liczb (x„.y₀), gdzie x„ c(a,b), istnieje dokładnie jedno rozwiązanie y = y(x) równania (3.1), spełniające warunek początkowy y(x₀) = y₀.

Geometrycznie teza tego twierdzenia oznacza, że przez każdy punkt obszaru

(3= {(x,y) eR²: a<x<b a -oo<y<-Ho} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (3.1).

Uwaga. Pr/ed/ial (a.b) może być przcdziulcm niewłaściwym.

Dowód Równanie (3.1) zapiszmy w postaci normalnej y' = -p(x)y + q(x).