Matematyka 2 )9

298 IV. Równaniu różniczkowe zwyczajne

wiedząc, że y,(x) = x jest rozwiązaniem odpowiadającego mu równania jednorodnego. Znaleźć rozwiązanie szczególne spełniające¹ warunki początkowe y(l) = 0, y'( 1) = 1.

3. Wiedząc, że y,(x)=x^;, x>0, jest rozwiązaniem równania

i    4

y" + — y’—yy = 0, znaleźć rozwiązanie ogólne równania ^x    x

y^,'+7y‘-4y=¹T. *>»•

^x x X

oraz rozwiązanie szczególne, dla którego y(2) = -l, y'(2) = 0

Rozwiązać równanie:

a) y" 4-2y' - 3y = 0, d) y"-2y'-i-y = 0, _g) y'*-4y‘ +4y = 0,

b) y" - y = 0.

O y" + y = 0, h) y"-2y* + l0y = 0.

c) y” + 2y' = 0, f) y"+4y = 0. i) y”-4y' = 0.

5.

6.

Rozwiązać równanie y" - y' - 2y = 0, a następnie

a)    znaleźć wszystkie rozwiązania y = y(x) równania, dla których

y(0)=0.

b)    podać trzy funkcje y= y(x), które są rozwiązaniami lego równania i spełniają warunek y(0)= l,

c)    znaleźć rozwiązanie spełniające warunki początkowe y(0)=0, y'(0) = -3.

Rozwiązać równanie y" + 2y' = 0, a następnie

a)    znaleźć wszystkie rozwiązania y=y(x) tego równania, dla których lim y<x)=4,

%-**<*•

b)    znaleźć wszystkie rozwiązania y=y(x) lego równania przechodzące przez punkt (0,0), dla których lim y(x) = -KC.

Stosując metodę uzmienniania stałych rozwiązać równanie a) y" —y' = 2x,    b) y" + y’-6y = 5e\

c) y" + y = 4sinx,    d) y" -2y' + y = c*^ł - 1,

c) y” - y =

2c'

1 + e' *

0 y" - 2y' + y =

4 + x*

g Stosując metodę przewidywania znaleźć rozwiązanie szczególne

równania:
a) y”-y = 2e-*.	b) y" + y'-2y =*9-4x^J,
c) y" + y=4xe\	d) y"-y'-2y=3xc^J*.
e) y"-y’ = 3.	0 y*-y' = -2xcosx -2sinx,
g) y" +y’ = 2c’^ł.	h) y^M-2y' + 2y = 2x-e*t
i) y" + y = 2cosx,	j) y" + 2y^, + y = 2e“*+6sinx
Stosując metodę przewidywania rozwiązać równanie:
a) y" + 2y* -3y = 3x -2,	b) y'* + 4y' + 4y = 5cosx.
c) y” -2y' + y=(3x + 2)e‘t	d) y" + 2y' = 6e~^2*.
e) y"-2y' + 2y = 4x-2x^2.	0 y"-y'=e^2‘-4x.
Rozwiązać równanie: a) y" + y' = 2cosx,	b) y”- 2y’ + 10y=5x + 4.
c)y" + y- . \ . sin x	d) y"-2y' + y=—pp, X
c)/*-y=% e	0 y"+2y' + y = ^pp. xe
1-e^2* «) y"-y'*='~T-l+e	,, „ , cosx h) y"+y=—— • sin x
i) y" -4y = 3e*,	j)y"^+y=iik-
k) y" + 2y' = 3x^2 + 3x.	1) y" -3y’ + 2y = 8cos^2 x

11. Rozwiązać równanie przy podanych warunkach:

a) y" + 2y' + y = 2c\ y(0) = l. y'(0) = l,

b)    y" + y=x—3x^J, y<0)=3, y'(0)=l,

c)    y" + 2y' + y=-^-V. y(0)=2, y’(0)=-2,

^d)    y" + y=—7—. y< *)=-!, y'(n)--n.