Matematyka 2 &9

268 IV. Równania różniczkowe zwyczajny

d) (2yc^J‘ -2x)dx + (e^2ł + 2e'^2y )dy = U. y(l)=0.

1    x²

c) (2xlny--)dx+(2y+ —)dy = 0, y(-l)=l. x    y

O (sin2x + 2xy)dx+(x^: +cosy+2)dy = 0. y(0)=n,

g) (3x* + ycosx)dx + (3y² +sinx+3)dy=0. y(l) = 0.

4. Rozwiązać równanie za pomocą czynnika całkującego:

a)    (l-x²y)dx + x²(y-x)dy=0.

b)    (2xy^: -y)dx-t-(y^:-rx + y)dy = 0,

y²

c)    (x-~)dx + 2ydy = 0,

d)    (x + y²)dx + 2ydy = 0,

e)    (x^: + 3y²)dx- 2xydy = 0,

0 (ye'*^y-2x)dx +(e”^> + x²)dy = 0.

g)    (4x’^^)dx + ( — + 4y)dy = 0.

y y

h)    (y^:sinx + 2xy)dx + (2y- ycosx-r l)dy = 0,

i) (2ln(y-x)--— )dx+(——    )dy-0.

y-x y-x xy

Odpowiedzi Liicra t w odpowiedziach oznacza stalą, która przyjmuje, jeśli nic ma innej informacji, dowolne wartości rzeczywiste Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie obszarów, w których zapewniona jest Jednoznaczność rozwiązań odpow iednich równań.

I a) y-*    + x² ■* y^: - C. C>0, astąd y- ■^t~—C>0.

C- d

b) x~ -rxln(4-y)sC, CeR. astąd y-4-c * . CtR.

Sporządzenie odpowiednich rysunków pozostawiamy Czytelnikowi

_r 2

1 a) y - - —- —. b) x^,y-x^J*y^,+y = C. C) xy^J-x^:-y³«C\

x-stnx

d) x*-x^Jy-2x* -rxy+y^ł=C. c) xV*- ye”‘= C,

0 _xV -*■ 2e‘ + y¹ ♦ 2y * C . g) In² x + xY + ln|y|= C 3. a) x^,-xV+y*’-4=0. y(0)=-Ł czyli y=-J^~. xc(-U).

b)    x^J f y^: -xy+x-y = 0. y<0)= I. czyli y = -^(x-l-»Vl-2x-3x^J).

_c)    11-1+3=0. y(2) = -l. d» yc^2ł-c ^2y-x²*2 = 0. y(l)=0.

r ^y

e) x²lny-ln(-x)+y^: -1 = 0, yt—!) = i.

0 siir x+5iny+ *^:y♦ 2y-2x = 0. y(0)= Jt , g) x^} ♦ y' +3y + ysin x - I = 0, y(1) = 0

4    a)n(x) = -U y²-2xy-l = C. b)M(y)=-y; x^:-l+y+ln|y)=C . y = 0.

x*    ^x    y y

2

c) n(x)=l; x+l-=C, d) u(x)=c‘; y² = Cc ' -x+l. c) m(x)®’—y, 1 + 1_T + C=0. f) M(y) = c \ yc*-x²c'^r = C , g»M(y)=y^:; *V ♦ x^J + y^Ą =C. h) ^y)=l; x^J+2y-ycosx-rln!y|=C. y=0, i) m(x)=»: x²ln<y-x)+łniyl=C

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE II RZĘDU SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ I RZĘDU.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE ll RZĘDU. Każde równanie różniczkowe 11 rządu można zapisać w postaci

<⁵-*>    F(x,y.y\y") = 0,

gdzie F jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze DeR⁴, a y=y(x) oznacza funkcją niewiadomą.

Rozwiązanie ogólne takiego rów-nania jest dwu parametrową rodziną funkcji i można je zapisać jak następuje

y = y(x.C,,C_:).