Matematyka 2 5

254 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

Niemniej warto pamiętać, że metoda uzmienniama stałej pozostaje podstawową metodą całkowania równania liniowego, gdyż może być stosowana do każdego równania tej postaci (czego nic można powiedzieć

0    metodzie przewidywania).

RÓWNANIE BERNOULLIECO Równanie różniczkowe

postaci

(3.6)    y' + p(x)y = q(x)y^a, a*0, a*l,

gdzie y=y(x) jest funkcją niewiadomą, p i q są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale, przy czym funkcja q nie jest tożsamościowo równa zeru, nazywamy równaniem Bernoulliego

Zauważmy, że dla a = 0 równanie (3.6) jest równaniem liniowym niejednorodnym. a dla a-l równaniem liniowym jednorodnym.

Jeżeli równanie (3.6) zapiszemy w postaci normalnej

y'=-p(x)y+q(x)y^a

1    zastosujemy do niego twierdzenie 1.2 (Cauchy’ego) o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania różniczkowego y' = f(x,y), to łatwo wywnioskujemy co następuje:

Jeżeli u- równaniu Bernoulliego funkcje p i q są ciągle na przedziale (a,b). to dla dowolnej pary' liczb (x₀.y₀), gdzie x₀E(a,b). y₀ e(0,+co). istnieje dokładnie jedno rozwiązanie y = y(x) tego równania spełniające warunek y( x₀) = y₀.

Geometrycznie to oznacza, że przez każdy punkt obszaru D, = {(x,y)eR^:: a<x<b a y>0| przechodzi wtedy dokładnie jedna krzywa całkowa równania (3.6).

Jeżeli a jest taką liczbą, że potęga y¹¹ jest określona także dla y < 0, to również przez każdy punkt obszaru

D, = {(x,y)eR²: a<x<b a y<0) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (3.6)

Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy a>0, funkcja stała y=0, x €(a.b). jest także rozwiązaniem równania (3.6). Wykazuje się, że jest to rozw iązanie regularne dla a > 1, a osobliwe dla 0 < a < 1.

Aby znaleźć rozwiązania równania Bernoulliego sprowadzamy je do równania liniowego wprowadzając nową niewiadomą funkcją t = t(x) za pomocą równości:

(3.7)    y¹-°(x) = t(x).

Wówczas

0.8)

Dzieląc przez y^a obie strony równania (3.6) mamy

y'°^⁺p^(x)y''“ ^s*q(x).

a po uwzględnieniu związków (3.7) i (3.8) otrzymujemy równanie liniowe

|U(l-a)p(x)i = (l-a)q(x), w którym t = t(x) jest niewiadomą funkcją.

PRZYKŁAD 3.7. Znajdziemy rozwiązanie ogólne równania a) y'-y + e‘²*y^J=0,    b) y¹- — = 2x_>/ycosx.

a) Jest to równanie Bernoulliego (a = 2):

(I)    y’-y=-e‘^JV.

Z twierdzenia 1.2 (Cauchy’cgo) wynika, że przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna krzywa tego równania. Funkcja y=0, x eR, jest rozwiązaniem szczególnym równania (1). Zakładając, że y * 0 dzielimy obie strony równania (1) przez y^: i stosujemy podstawienie — = t. Wówczas —y y¹ = t*. W ten sposób

y    y

otrzymujemy równanie liniowe z niewiadomą funkcją t = t(x):

(2)    t* + t = e'²*.

Wzór

t = Ce"*-e~²\ CeR,