Matematyka 2 )5

294 IV. Równania różniczko** zwyczajne

d) dla równania y"-2y' + y = 3e' istnieje rozwiązanie szczególne postaci y_t = x*Ae^ł, gdyż a = l jest dwukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r² - 2r +1 = 0.

Niewiadome współczynniki A,B i C w tych przykładach wyznaczamy korzystając z faktu, że y_f spełnia odpowiednie równanie różniczkowe.

II.    Jeżeli w równaniu (6.13)

q(x) = W_a(x)cos0x + V_in(x)sinpx,

przy czym (i € R. a W_n, V_m są wielomianami odpowiednich stopni, to dla równania (6.13) istnieje rozwiązanie szczególne postaci

y* ⁼ x^k(P,(x)cos|Jx + Q/(x)sinpx).

gdzie P_/t Q, są pewnymi wielomianami stopnia l. /=max(n,m), oraz k = 1, gdy r = pi jest pierwiastkiem lub k = 0. gdy r = pi me jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (6.12).

Na przykład:

a)    dla równania y"-y = xsin3x+cos3x istnieje rozwiązanie szczególne postaci y, =( Ax + B)sin3x + (Cx + D)eos3x;

b)    dla równania y"-y=5sin2x przewidujemy rozwiązanie szczególne postaci y, = A sin 2x -r Bcos2x ;

c)    dla równania y” + 4y = 5sin2x istnieje rozwiązanie szczególne postaci y, = x(Asin2x+ Bcos2x). gdyż (w odróżnieniu od przykładu b)) r = pi = 2i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego

III.    Jeżeli w równaniu (6.13)

q(x) = (W_n(x)cos|ix-r V_m(x)sinPx)e^lM.

przy czym a eR, PgR, W_n, V_m są wielomianami odpowiednich stopni, to istnieje rozwiązanie szczególne równania (6.13) postaci y, = x^k(P_/(x)cosPx + Q_/(x)sinpx)e^t“, gdzie P,, Q, są pewnymi wielomianami stopnia l. I = max(n,m), zaś k oznacza krotność pierwiastka r = a + ip równania charakterystycznego (6.12).

Zauważmy, żc z tego najogólniejszego przypadku otrzymujemy w szczególności dwa wcześniej rozważane: 1. gdy {3 = 0 lub II. gdy a - 0.

Przy przewidywaniu rozwiązania szczególnego równania (6.13) korzystać możemy również z następującego twierdzenia:

TWIERDZENIE 6.6. Jeżeli y = y,(x), xe(a,b), jest rozwiązaniem równania

y" + a,y' + a₂y=q,(x),

a y = y_;(x), xe(a.b), jest rozwiązaniem równania

y” *^ai/ + a>y = q₂(x),

t₀ y = y,(x) + y_:(x) jest rozwiązaniem równania

y" + a,y' + a₂y = q,(x) + q_:(x).

Z twierdzenia tego wynika, żc dla równań a) y^H - y' = x-e^2ł, b) y" + y = xc~^x ■+ 2cosx istnieją rozwiązania szczególne odpowiednio postaci:

a)    y, = x(Ax + B) + Ce²\

b)    y_% = (Ax + B)c~* + x(Ccosx-ł-Dsinx)_t

gdzie A, B. C, D są odpowiednio dobranymi współczynnikami.

PRZYKŁAD 6.9. Znajdziemy rozwiązanie ogólne równania

(1)    y^w-2/ = 2x-6x².

a następnie rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe y(0) = 0. y'(0) - -I.

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

(2)    y”-2y' = 0.

Ponieważ równanie charakterystyczne

r² -2r = 0

ma dwa pierwiastki r, =0, r₂ =2, więc rozwiązanie ogólne równania (2) jest określone wzorem:

y₀=C, +C_;c²\ x sR, C,.C₂€R.

Rozw iązanie szczególne równania (1) przewidujemy w postaci y,= x(Ax^: + Bx + C)

(u=0 jest pierwiastkiem równania charakterystycznego).