Matematyka 2 &1

260 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

13. Rozwiązać równanie przy podanym warunku początkowym:

^a)    yH>—².    *» y'⁺T=i==- y(^e)=T->

**^x y    ^x vlnx    ^c

C) y'-y=^±J^-_ł y(0)*l, d) y' = yctgx—=Ł=. y(-y)=l, ^zy    v4-cosx ^z

^{e) y}'⁺^⁼i- *^e)4- ⁰ y-i^xy⁺^r=°- y°>='-

g) y'-2y-2e'jy, y0) = 9c². h) y'+2y=^^e-~ . y(0)=1

l + 4x

Odpowiedzi Występująca w odpowiedziach litera C oznacza dowolną stałą. 3. a)y = Ce~‘, b)y = C(l + x^:). c)y = C/lnx, d) y = Csmx.x*kn.

e) y = Ce^J*. f)y*Ce a) y = 3e²*. b)y = -2e*', c) y=-lnx. x> I, d) y*-^-, x>l.

lnx

c) y=

-i

Ux^J

0 y = 3x-x*,U<x<3. Sporządzenie odpowiednich rysunków

pozostawiamy Czytelnikowi

5.    a)y = (C-l)e-‘. b) y = x²(C + c*^v»). c) y = (l + x^JKC+ln(Ux^ł)),

d) y - x* -1 -f Ce'^,ł, e) y= x(C + ~ln^: x).    0 y = Cc^-**+2sinx-cosx.

g) y = (x + -jsm2x + C)c^%. h)y = Cx^:--^, i) y = Cco*x-2cos²x. x x-^-+k« .

6.    a) y = x‘ -2, b) y = -e"³*. c)y = -j-e^:\ dl y = (-x-l)e*.

c)    y — 2xc~^ł, f) y = 2x^:c'*. gl y = (x^:+x)e^J*. h) y *-cosx-2sinx. i) y = (x ♦ |)cosx-*-xsinx. j) y= 2sinx-cosx , k) y = 3-t-cos2x-sin2x,

I) y= xe‘²*-*-cosx-2sinx, I) y= x²-2x + 2+sinx-cosx .

7.    a) y = Ce“*-*-x^ł-2x+2, b) y*Ce*-e’\ c) y = Ce" + xe*,

d)    y = (C + x* )e'. e) y = (C•^■2x)e^,*,    0 y = Ce* +sinx-cosx.

g) y = Cc²* + (2x² - x)c^J*. h) y = Ce* - cos2x. i) y*Ce*^,+2x-2-xe’\

j) y=Cc”+xsinx, k) y = Ce'^:* + x² - x-»-sin2x-t-cos2x ,

I) y = Ce" -2e"+sinx.

8. a) y = Cc '+cosx + sinx. b) y= x(CC) y = 2xsmx * Csmx, x *    .

Inx    2

d) y = Cc^2ł -(x+1)c‘* , c) y = (C + sinx)c*². O y-Cc^x + 2«*2x-*-sin2x .

S)y = 7<C—y). h)y = (C--J-)lnx. x>0. i x*l,

X X    x

i)y=Cx-x(x²>Dc-‘^:, x*0. j)y = (C+2V3+c^ł)e-.

k)y = Ce^* *2<l + Vx). x>0. I) y = e*(C-ln<x + >/9-*V)).

9. a) yg^X-^XC—1. b)y = -x^:e‘*, c) y = 4c'^:*+2sinx-cosx . 2+c^ł

‘'Hhr-**'- ^0!'⁼²^T777'*^<0-

B) y=^e, ^V1³ ■ H) y =-2-2sinx-fc""'. i) y= —,"² 7 . l-re ^ł    e^ił + e*

j) y = -x—r-. 0<x<I. k) y = 3c‘ -x-l + sinx-cosx , tnx

1) y = xc~* ł-smx-2cosx.

10 y-x(l--7—). x>l; -» przy x->l+. + cc przy x-+4-a:

ln‘ x

12. a) y=O, y=-?-. b) y°0. x*0; y = -=-¹* ■ — .

Cc‘*x +1    yx(C+2x-x⁵)

c) y=±J-^(C+ ln|xj). y*0. d) y = Wc+sinx e^ł. y*0.

c) y = 0. y=(Cc‘* + sinx-cosx)^:. przy zał., żc Ce"* +smx-cosx>0

Oy=0. x>0; y =

-—;—. g) y = 0. x*0; y = —--—r-r- przy zał.. 2e

x(C- ln^ł x)    x²(C-x^J)^J

x(C-x²)>0. h) y = ^/(C-6cosx)cosx ,x*-ry. y*0.

3x +C>0.

i) y^(3x<-C)V'.

13.    x c(-V5.0). b)y =-L==-. x>Vc.

»    *    x(l-2vlnx)

c) y = e* >/2 + x- c"^2x . d) y = —- łⁱⁿ—.— ,0<x<x,

2V4-cosx-3

c)y= -»^lnx x>l, Oy*V3^3x²-2c^,ł ,y>0, l+ln^łx

g)y = (2«-x)V\ x>-2, h)y = {1 + arctg2x>^;e*^,ł, x>~.