Matematyka 2 11

310 IV Równania różniczkowe zwyczajne

PRZYKŁAD 7.5. Rozwiążemy układ równań

0)

dx _ 2( x — 1) dt t '

^ = y-4e-dt ³

Jest to układ dwóch równań niezależnych - każde z tych rów-jest równaniem różniczkowym rządu pierwszego z jedną niewiado funkcją zmiennej t. W pierwszym równaniu nie występuje funkcja y(t), w drugim nie występuje funkcja x(t). Takiego układu nie można zastąp' jednym równaniem drugiego rządu z jedną niewiadomą funkcją. Oci ście nic jest to konieczne dla rozwiązania tego układu. Rozwiązani układu (I) jest każda para funkcji x i y, z których pierwsza jest ro2 zaniem pierwszego równania _f zaś druga - rozwiązaniem drugiego rów nania. Z pierwszego równania układu (1) otrzymujemy x- l + C,t^: dla t^O.az drugiego y = C₂c' + 2e gdzie C_{ i C₂ są dowolnymi sta Zatem układ funkcji

x=l + C,r², y = C₂e' + 2c'\ t*0,

gdzie C, i C, oznaczają dowolne stało, jest rozwiązaniem ogóln rozważanego układu równań.    I

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

I. Rozwiązać układ równań:

a)

£ = 2y _{+ Z}. £^=y+2z-

b)

dy .

dT^y-⁵‘

dz

d^^=y-^z’

d)

c)

^=y + 3z-8x^J, dx

dz

dT^⁷’

2. Rozwiązać układ równań przy podanych warunkach początkowych: a)

7hT ^{= 2y + Zł}

y(0) = -l, z(0) = 4;

dT⁴^

e)

g)

^- + y + 2z = 3t².

I—

dx _ x² dt y *

dt *’

0

h)

dx - i -_S-2x-y = e.

^ + 2y+5x = -e'_t dy

-r=z+l,

dx

dz _ z 2

dx x _x²

b)

c)

^-3y + 4z=0, f-y₊z = 0,

^ = -^,-x-2y.

^='+x+y.

y(l) = C, z(l) = 0;

x(0) = 2, y(0) = -l.

0 d p o « I c il / I Litery C, i C₂ oznaczają dowolne stale

1-    a) y = C,c' +C_Je^,,t z=-C,e*-C₂e³\

b)    y = (Cj-2C|)sin2x + (2C, + C,)co:>2x, z = C,cos2x + C_;5in2x c> y = 3C,e³* - C₂e'^u + 2x^J + 4x ♦ I. / = C,c^:* +C₃e*^,ł 2x* * 1.

d)    x = C,c‘ - C,e²‘ -t- je-¹'. y = C₂e²‘ - 4e'²'.

e)    y=-2C,-C_;e^,-t-2t^, f3r-6t^6. z=C,♦ CJe^,-tⁱ-3t^,.

0 x = C| cost-t-C_:sinr + c‘. y=(C,-2C,)cost-(C|+2C_; Jsmi-2c‘,

81 x = C,C₂e‘'¹¹, yaC ₂e^c‘'. C₂ # 0. h) y = * » lnjx|♦ ^-x² - Cj. z = -U C,x

2-    a)y=__e-2. _{/ = 4e}-J._t b) y=(2x-hc\ z=(x-l)e^l.

c)    x = sin t - cost - 2t • 1. y -1 - cost.