Matematyka 2 05

304 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

304 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

PRZYKŁAD 7.1 Niech będzie dany układ równań

dy dx¹

2

d²y

dx

£=3x₊z²+2^. dx    dx

Jest to układ dwóch równań z niewiadomymi funkcjami y(x)

i z(x), przy czym równania tc są rozwiązane ze względu na najw>

pochodne niewiadomych funkcji występujące w tym układzie, tzn.

y” i z\ Wprowadźmy nowe niewiadome funkcje u, v, w zmiennej x_t

za pomocą równości: u«y, ^v = ^“. w*z. Wtedy    . Po

uwzględnieniu wprowadzonych oznaczeń, otrzymujemy układ w pos normalnej z funkcjami niewiadomymi u(x), v(x) i w(x):

isL._v

dx dv

— = u -f w - v, dx

4^=3x+w²+2v. dx

Zauważmy jeszcze, że każde równanie różniczkowe rzędu n postaci

(7.4)    y^(w> *= f(x,y,y'.....y

gdzie y = y(x) jest niewiadomą funkcją, można sprowadzić do układu normalnego n równań wprowadzając pomocnicze funkcje niewiadome

u_k =u_k(x), k = I.....n:

u, =y, u, =y'.....u_n = y*"^_l\

W konsekwencji otrzymujemy układ równań

'i _

du.

= u

dx

du_:

(7.5)

3 »

dx

du

-jf-=f(x.u,.....u„).

który jest układem normalnym z niewiadomymi funkcjami u,(*).....^un<*)-

Stąd wynika, że badanie rozwiązalności równania różniczkowego rzędu n można zastąpić badaniem rozwiązalności normalnego układu n równań różniczkowych. 1 rzeczywiście, dowód istnienia rozwiązań równania postaci (7.4) przeprowadza się w ten sposób, że wykazuje się istnienie rozwiązań odpowiadającego mu układu równań (7.5).

Niżej podajemy twierdzenie n istnieniu ł jednoznaczności rozwiązań układu równań różniczkowych w postaci normalnej (7.1).

TWIERDZENIE 7.1. Jeżeli funkcje f_k, k*l,...,n, są ciągłe i mają ciągle pochodne cząstkowe względem y,,....y_n nu pewnym obszarze Dc R^r*‘ oraz (x₀,y^u.....y, ) eD. to istnieje dokładnie jedno rozwią

zanie układu (7 |) określone na pewnym otoczeniu punktu x₀ i spełniające warunki początkowe

y.(^o) = y“—= y«*

Łatwo sprawdzić na przykład, że zgodnie z tym twierdzeniem dla dowolnych liczb x₀. y₀. z^ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu

dy j

~ = y - z+cosx, dx

^=2y⁵ ₊ r-x^J

dx

określone na pewnym otoczeniu punktu x₀ i spełniające warunki y(Xo) = y, i ż(x ) = z_n Nie oznacza to jednak, że rozwiązanie takie potrafimy łatwo wyznaczyć. Podobnie jak dla rów nań różniczkowych, tylko dla pewnych układów równań (np. dla układów równań liniowych) potrafimy wskazać efektywne metody całkowania, czyli znajdowania rozwiązań Na ogoł możemy jedynie zastosować pew ne metody przybliżonego rozwiązywania.

Pokażemy teraz jedną z metod rozwiązywania układów równań różniczkowych polegającą na sprowadzeniu układu do jednego równania różniczkowego.

METODA ELIMINACJI rozwiązywania układu. Na początku tego paragrafu pokazaliśmy m in. sposób sprowadzenia równania rzę-du n do układu normalnego n równań. Przy rozwiązywaniu układów