Matematyka 2 07

306 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

czasem okazuje się celowe postępowanie odwrotne - sprowadzenie uk du równań, poprzez rugowanie kolejnych niewiadomych funkcji, jednego równania odpowiednio wysokiego rzędu z jedną niewi? mą funkcją. Rozwiązanie tego równania pozwala nam wyznaczyć po stałe niewiadome funkcje już bez całkowania Metodę eliminacji zilusf jemy przykładami.

(I)

PRZYKŁAD 7.2. Rozwiążemy układ równań y' = u, z'«u + 2c*_t u=z-y-e\

w którym niewiadome funkcje y, z i u są funkcjami zmiennej x.

Jest to układ normalny trzech równań. Eliminując dwie nie^ dome funkcje sprowadzimy len układ do jednego równania różniczko go rzędu trzeciego z jedną funkcją niewiadomą. Z pierwszego równi układu (l) mamy u =y\ a zatem u’ = y”. Uwzględniając to w pozo łych równaniach mamy

(2)

z' = y' + 2e\ y" = 7-y-c'

(w len sposób wyeliminowana została niewiadoma u). Następnie ruguj my z otrzymanego układu (2) funkcję z. W tym celu z drugiego równań! układu (2) wyznaczymy z:

Z = y" + y + e\

obliczamy pochodną z':

Z* = y'" + y'+e‘

i wstawiamy do pierwszego z równań układu (2). Otrzymujemy

y‘" =» c^A.

Jest to równanie różniczkowe rzędu trzeciego z niewiadomą funkcją y. Przez trzykrotne całkowanie łatwo otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania:

y = C,x² +C₂x + C₃ + e\

gdzie Cj.Cj.Cj oznaczają dowolne stałe. Ponieważ u = y' oraz z = y" + y + c*, więc

u = 2C,x + C_; + e'

z = C,x³ + C₂x + +2C, + C₃ + 3e\

oraz

Rozwiązaniem ogólnym układu (l) jesl układ funkcji

y=C,x² + C₂x+C₃ +e‘,

(3)    z = C,x² +C₂x + 2C, +Cj + 3e^ł,

u = 2C,x-ł-C, + e*,

gdzie C|_TC₂,C₃ gR i x gR .    ■

Zgodnie z podanym wcześniej twierdzeniem 7.1 o ismieniu i jednoznaczności rozwiązań wiadomo, że dla dowolnej czwórki liczb (x₀,y₀,^zo»^uo) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań różniczkowych (1) spełniające warunki początkowe:

y(x₀) = y₀, z(x₀) = z_tJ. u(x₀)=u₀.

Wyznaczmy więc takie rozwiązanie szczególne układu (1), które spełnia warunki y(0) = l. z(0) = 3, u(0) = -l. Uwzględniając podane warunki początkowe w (3) otrzymujemy

y(0) = C₃ + l = l. z(0) = 2C, + C, + 3 = 3, u(0) = Cj +1 = -l,

skąd

C, *= 0, C₂ »-2,    C₃=0.

Rozwiązaniem układu (I) spełniającym postawione warunki jest więc następujący układ funkcji:

y = e*-2x, z = 3e* - 2x, u = c' - 2. xeR.    ■

PRZYKŁAD 7.3. Rozwiążemy układ równań (1)

^ = x+4y+l2e', dt

J=x ₊ y-3_e'.

Jest to układ dw^fóch równań z niewiadomymi funkcjami x(t) ¹ y(t). Z drugiego równania W7znaczymy x:

\ = y' - y + 3e‘.