Matematyka 2 1

250 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

(5)    y = Cc*^m*-2(1 + sinx), C6R,x_€R,

Uwzględniając w (5) warunek y(0) = -l otrzymujemy C=l.

zatem funkcja

y = e^sinx -2(1 + sinx), x€R,

jest rozwiązaniem spełniającym podany warunek początkowy.

METODA PRZEWIDYWANIA. Jeżeli funkcja p w równaniu (3.1) jest stałą i prawa strona, czyli funkcja q, jest odpowiedniej postaci, to umiemy przewidzieć postać rozwiązania szczególnego. Metoda ta pozwala znaleźć rozwiązanie szczególne równania (3 1) bez uciążliwego czasem całkowania, które występuje przy stosowaniu metody uzmien-niania stałej.

Załóżmy, że w równaniu (3.1) p(x) = a = const. Wówczas równanie to przyjmuje postać

(3.5)

y' + ay = q(x).

I. Jeżeli q(x) = W_B(x)e“\ gdzie W_n oznacza wielomian stopnia n. a eR. to istnieje rozwiązanie szczególne równania (3.5) określone wzorem

gdzie P_n jest pewnym wielomianem stopnia n, natomiast k = I. gdy a = -a albo k = 0. gdy a * -a.

Tak więc, dla równań

a) y' + 2y = 3c\ b) y'-y = x² +3x, c) y’+y = xe'* będziemy szukać rozwiązań postaci

a)y, = Ae\ b) y, = Ax² + Bx + C, c) y_t = x(Ax + B)e'\ gdzie A. B, C są współczynnikami, które należy obliczyć.

PRZYKŁAD 3.3. Znajdziemy rozwiązanie szczególne równania

(I)

y'+2y = (4x-I)e'²\

Przewidujemy, że rozwiązaniem równania (I) jest funkcja

gdzie A i B są odpowiednio dobranymi współczynnikami. Podstawiamy y_t i y’ do równania (1) i otrzymujemy równość, która winna być spełniona dla każdego x € R:

(2Ax + B)e ²*=(4x-l)e'²\

Stąd wynika, że A = 2 i B = -I. Zatem

y, = (2x^:-x)c'²\ xeR.    ■

U. Jeżeli q(x) = W_n(x)cospx + V_łn(x)sinPx, gdzie W_n, V_m są wielomianami odpowiednich stopni. P € R. to istnieje rozwiązanie szczególne równania (3.5) określone wzorem

y, = P/(x)cospx + Q,(x)sin(3x,

gdzie P, i 0/ są pewnymi wielomianami stopnia I. I = max(m,n)

Zatem dla równań

a) y'-y = 3sinx_f    b) y' + y = xcos2x-2sin2x

istnieją rozwiązania postaci

a) y_€ = Asinx + Bcosx, b) y_t =(Ax + B)cos2x + (Cx + D)sin2x.

PRZYKŁAD 3.4. Rozwiązanie równania (I)    y' + y = 5cos2x

przewidujemy w postaci

y, = A cos2x ♦ Bsin2x.

Po podstawieniu y, i y| do (1) otrzymujemy

-2Asin2x + 2Beos2x +Acos2x + Bsin2x s 5cos2x,

(-2A + B)$m2x + (2B +A)cos2x =s 5cos2x.

Stąd

-2A + B = 0 i 2B + A =5, czyli A = 1. B = 2. Zatem

y_€ = cos2x + 2sin2x, xeR.

jest rozwiązaniem szczególnym równania (I).    ■

III. Jeżeli q(x) = (W_n(x)cospx+ V_m(x)sinPx)e^lŁ*. gdzie W_n, V,,, są wielomianami odpowiednich stopni, a eR. P eR. to istnieje rozwiązanie szczególne równania (3.5) określone wzorem

y, = x^k(P_/(x)cosPx + Q_/(x)sinpx)e^ał,