Matematyka 2 "5

Matematyka 2 "5



224 IV Równania różniczkowe zwyczajne

Rozwiązanie ogólne wyznaczymy przez trzykrotne całkowanie. Z (I) otrzymujemy kolejno:

y" = 6x+C,, y* =3x2+C,x + C3, y = xł + ~C,x3 + C,x+Cj.

Zatem rozwiązanie ogólne danego równania jest trój parametrową rodziną funkcji

(2)    y = x3 + ^C,x2 + C2x + C3, xeR, C^Cj.CjCR.

a)    Uwzględniając warunki brzegowe w (2) otrzymujemy

I = C3, 5 = 8 + 2C, + 2C2 + C3. -3 = -8 + 2C,-2Ci+C„

a stąd

C, = 0, C, = -2. C} = I.

Tak więc. szukane rozwiązanie szczególne jest postaci

y = x’-2x + l, xeR.

b)    Dla rozwiązań określonych wzorem (2) mamy

y'=3x:+C,x + C2, y" = 6x+C,.

Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy

-1 = 1 +jc.+Cj+Cj, 2 = 3+C,+Cj. 4 = 6 + C|.

a stąd

C, = -2, C2 = l. Cj = -2.

Zatem rozwiązanie szczególne spełniające podane warunki początkowe określone jest wzorem

y=x3-x2 + x-2, xeR.    ■

W dalszy ciągu zapoznamy się z pewnymi efektywnymi metodami całkowania niektórych typów równań różniczkowych. Będą to metody. które prowadzą do napisania wzoru na rozw iązanie ogólne (czasem w postaci uwikłanej) danego równania różniczkowego. Niemniej, dla wielu równań takich metod całkowania nie znamy i wtedy musimy poprzestać na znalezieniu przyhliżonych rozwiązań tych równań. Zresztą, z punktu widzenia zastosowań praktycznych, na ogół wystarcza w zupełności. gdy możemy podać, z ustaloną dokładnością wartości przybliżone rozwiązania.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

I Podać po trz> przykład) równań różniczkowych liii rzędu.

2. Sprawdzić, żc funkcja y ->i»\. x g(O.ti). jest rozwiązaniem równania y*-2yclgx-cosx.

3 Sprawdzić, żc funkcja > = 2cv -c“ . xeR. jest rozwiązaniem równania y' = 2xy + 4xe'*'.

-4 Sprawdzić, żc funkcja > ~    x> I, Jest rozwiązaniem równa

nia xy'-My-x> -\-0 i wskazać, żc jest lo jedyne rozwiązanie lego równania spełniające warunck y(e) = I + e.

Sprawdzić, żc funkcja y = —, x>0, jest rozwiązaniem równania

x

i .    - ■*

XV + XV

v* +    =0 i wykazać, że jest to jedyne rozwiązanie lego

l + y-

równania spełniające warunek y(l)= I

6 Sprawdzić, że funkcja y-\v‘4-x‘. xc(0.2). jest rozwiązaniem

N:-XJ

rów nania y' - — — — i wykazać, że jest to jedyne rozw iązanie lego

równaniu spełniające w arunek y(l) = >/J

7.    Znaleźć rozwiązanie ogólne i naszkicować kilka krzywych całkowych równania:

a)v' = 2x-l. b)y' = 3x:.    c)y’=e\ d) y' = 2cos2x.

L-,' x+r    «***-£’

8.    Znaleźć rozwiązanie równania spełniające podany warunek początkowy i naszkicować odpowiednią krzywą całkową;

a) v* = 2x + I, y(-l) -2 .


b) y' = 3x:, y(0)=-l.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka 2 !9 218 IV. Równania różnicdconr zwyczajne Rozwiązując równanie różniczkowe wyznaczamy
Matematyka 2 7 256 IV Równaniu różniczkowe zwyczajne określa rozwiązanie ogólne równania (2). W ko
Matematyka 2 1 270 IV Równaniu różniczkowy zwyczajne Czasem rozwiązanie ogólne otrzymujemy w posta
Matematyka 2 $5 244 IV. Równaniu różniczkowe zwyczajne 9. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania s
Matematyka 2 &1 260 IV. Równania różniczkowe zwyczajne 13. Rozwiązać równanie przy podanym warunku
Matematyka 2 &5 264 IV Równaniu różniczkowy zwyczajne Następnie znajdziemy rozwiązanie szczególne r
Matematyka 2 3 272 IV. Równaniu różniczkowa zwyczajne PRZYKŁAD 5.3. Rozwiążemy równanie (1)
Matematyka 2 )5 294 IV. Równania różniczko** zwyczajne d) dla równania y"-2y + y = 3e istnie
Matematyka 2 )9 298 IV. Równaniu różniczkowe zwyczajne wiedząc, że y,(x) = x jest rozwiązaniem odpo
Matematyka 2 3 222 IV. Równania różniczko** zwyczajne - z twierdzenia Cauchy cgo wynika bowiem, że
Matematyka 2 #9 238 IV Równaniu różniczkom zwyczajne A mianowicie: wystarczy w powyższym równaniu z
Matematyka 2 1 250 IV. Równania różniczkowe zwyczajne (5)    y = Cc*m*-2(1 + sinx),
Matematyka 2 3 252 IV. Równania różniczkowe zwyczajne gdzie P, i Q są pewnymi wielomianami stopnia
Matematyka 2 5 254 IV. Równania różniczkowe zwyczajne Niemniej warto pamiętać, że metoda uzmiennia
Matematyka 2 &3 262 IV Równania różniczko** zwyczajne4. RÓWNANIE ZUPEŁNE. CZYNNIK CAŁKUJĄCY RÓWNANI
Matematyka 2 &9 268 IV. Równania różniczkowe zwyczajny d) (2ycJ‘ -2x)dx + (e2ł + 2e 2y )dy = U. y(l
Matematyka 2 (5 284 IV Równania różniczkowe zwyczajne 284 IV Równania różniczkowe
Matematyka 2 (7 286 IV. Równania różniczkowe zwyczajne y= C* - Ix>0. Dla równania liniowego 11 r
Matematyka 2 (9 288 IV. Równania różniczkowe zwyczajne jedynie do pewnych operacji algebraicznych.

więcej podobnych podstron