224 IV Równania różniczkowe zwyczajne
Rozwiązanie ogólne wyznaczymy przez trzykrotne całkowanie. Z (I) otrzymujemy kolejno:
y" = 6x+C,, y* =3x2+C,x + C3, y = xł + ~C,x3 + C,x+Cj.
Zatem rozwiązanie ogólne danego równania jest trój parametrową rodziną funkcji
(2) y = x3 + ^C,x2 + C2x + C3, xeR, C^Cj.CjCR.
a) Uwzględniając warunki brzegowe w (2) otrzymujemy
I = C3, 5 = 8 + 2C, + 2C2 + C3. -3 = -8 + 2C,-2Ci+C„
a stąd
C, = 0, C, = -2. C} = I.
Tak więc. szukane rozwiązanie szczególne jest postaci
y = x’-2x + l, xeR.
b) Dla rozwiązań określonych wzorem (2) mamy
y'=3x:+C,x + C2, y" = 6x+C,.
Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy
-1 = 1 +jc.+Cj+Cj, 2 = 3+C,+Cj. 4 = 6 + C|.
a stąd
C, = -2, C2 = l. Cj = -2.
Zatem rozwiązanie szczególne spełniające podane warunki początkowe określone jest wzorem
y=x3-x2 + x-2, xeR. ■
W dalszy ciągu zapoznamy się z pewnymi efektywnymi metodami całkowania niektórych typów równań różniczkowych. Będą to metody. które prowadzą do napisania wzoru na rozw iązanie ogólne (czasem w postaci uwikłanej) danego równania różniczkowego. Niemniej, dla wielu równań takich metod całkowania nie znamy i wtedy musimy poprzestać na znalezieniu przyhliżonych rozwiązań tych równań. Zresztą, z punktu widzenia zastosowań praktycznych, na ogół wystarcza w zupełności. gdy możemy podać, z ustaloną dokładnością wartości przybliżone rozwiązania.
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.
I Podać po trz> przykład) równań różniczkowych liii rzędu.
2. Sprawdzić, żc funkcja y ->i»\. x g(O.ti). jest rozwiązaniem równania y*-2yclgx-cosx.
3 Sprawdzić, żc funkcja > = 2cv -c“ . xeR. jest rozwiązaniem równania y' = 2xy + 4xe'*'.
-4 Sprawdzić, żc funkcja > ~ x> I, Jest rozwiązaniem równa
nia xy'-My-x> -\-0 i wskazać, żc jest lo jedyne rozwiązanie lego równania spełniające warunck y(e) = I + e.
Sprawdzić, żc funkcja y = —, x>0, jest rozwiązaniem równania
x
i . - ■*
XV + XV
v* + =0 i wykazać, że jest to jedyne rozwiązanie lego
l + y-
równania spełniające warunek y(l)= I
6 Sprawdzić, że funkcja y-\v‘4-x‘. xc(0.2). jest rozwiązaniem
N:-XJ
rów nania y' - — — — i wykazać, że jest to jedyne rozw iązanie lego
równaniu spełniające w arunek y(l) = >/J
7. Znaleźć rozwiązanie ogólne i naszkicować kilka krzywych całkowych równania:
a)v' = 2x-l. b)y' = 3x:. c)y’=e\ d) y' = 2cos2x.
8. Znaleźć rozwiązanie równania spełniające podany warunek początkowy i naszkicować odpowiednią krzywą całkową;
a) v* = 2x + I, y(-l) -2 .