Matematyka 2 (7

286 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

y=

C* - I

x>0.

Dla równania liniowego 11 rządu, podobnie jak dla równania liniowego l rządu, prawdziwe jest następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 6.5. Jeżeli y = y_ll(x.C,.C_:), C,.C₂ eR. jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego (6.2) na przedziale (a,b) oraz y~y_ł(x). xe(a,b), jest rozwiązaniem szczególnym rów nania niejednorodnego (6.1), to

y = y₀(x.C„C₃) + y,(x) jest rozw iązaniem ogólnym równania (6.1).

Analogicznie jak dla równania liniowego I rządu, rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego można wyznaczyć na podstawie tw ierdzenia 6.5. wykorzystując metodą uzmienniama stałych jedynie do znalezienia rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

PRZYKŁAD 6.4. Rozwiążemy rów nanie

y"+ly = 12*.

(I)

a następnie wyznaczymy rozwiązanie takie, że y( -1) = 3, y(-2) = -4 .

Z twierdzenia 6.1 wynika, że przez każdy punkt półpłaszczyzn D, = |(x.y)eR²: x>0}, D₂ = {(x,y)€R²; x<0) przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie. Szukane rozwiązanie szczególne przebiega w obszarze D_:.

Można sprawdzić, że funkcje y = 1 i y = -^ dla x * 0 są rozwiązaniami szczególnymi rów nania jednorodnego

(2)

y"+fy' = 0.

przy czym są to rozwiązania liniowo niezależne Zatem wzór

y₀ = C,+C₂-, Cj.Cj gR,

określa rozwiązanie ogólne równania (2).

Następnie metodą uzmienniama stałych znajdujemy rozwiązanie szczególne równania (1). Szukamy tego rozwiązania w postaci

y. =C,(x)^C-(x)-.

Z układu

c;(x)+c;(x)i=o.

-C;(x)-V=l2x.

X*

wyznaczamy Cj(x), Ci(x),a następnie przez całkowanie otrzymujemy C,(x) = 4x³. C₂(x) = -3x¹.

Zatem

y_f = x‘ dla x>0 lub x<0 jest rozwiązaniem szczególnym równania (1).

Z twierdzenia 6.5 wynika, że y = y₀ + y„ czyli

(3)    y = C,+C_J^+x^J. C,,Cj eR

jest rozwiązaniem ogólnym równania (l).

Wyznaczymy teraz rozwiązanie szczególne spełniające warunki brzegowe y(—I) = 3. yt-2) = -4 Uwzględniając te warunki w (3) o-trzymujemy

3 = C, -C₂ -U -4 = C,-^Cj-8. a stąd C, =4 i C_; = 0. Zatem szukanym rozwiązaniem jest funkcja

y=4+x\    x<0.    ■

Równanie liniowe jednorodne o stałych

WSPÓŁCZYNNIKACH Załóżmy, że w równaniu liniowym jednorodnym^^) y"+ p,(x)y* +p.(x)y = 0 funkcje p, i p₂ są stałe. Załóżmy, żc p,(x) = a, = const. i p,(x) = a₂ = const. Równanie (6.2) przyjmuje postać

(6.11)    y" + a,y'+a₂y = 0

« nazywancjcst równaniem liniowym jednorodnym II rzędu o stałych współczynnikach Całkowanie takiego równania można zawsze przeprowadzić za pomocą funkcji elementarnych, co nie jest zawsze możliwe przy dowolnych funkcjach p,(x) i p,(x)(por. przykład 6.2). Ponadto rozwiązanie równania (6.11) me wymaga całkowania, a sprowadza się