Matematyka 2 01

300 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

c) y" + y = 3sin2x. y(0)=l, y(n/2) = U.

0 y"-2y' + y = (x + De^2ł. y(0) = -l. y(l) = 2e.

12.

13.

Rozwiązać równanie y"-2y*+ y = x^;-6, a następnie wszystkie rozwiązania tego równania, dla których y(0) = 1. Sprawdzić, źc dla każdego rozwiązania y = y(x)

znal'

równania

y" + 2y' + y = 3e'■^,, zachodzi warunek lim y(x) = 0.

x—»«x

14. Rozwiązać równanie y"-y = 8e‘^lł, a następnie wyznaczyć wszystkie rozwiązania y = y<x) tego równania, dla których y(0)=l i lim y(x)=-oc.

15. Rozwiązać równanie y" - 2y* + y = 2e\ a następnie

a)    znaleźć rozwiązanie spełniające warunki y(l) = -3e. y'(l) = 0. naszkicować wykres tego rozwiązania,

b)    znaleźć wszystkie rozwiązania tego równania, dla których v(0)=! oraz y(x)2 0 dla każdego xeR; naszkicować wykresy dw^róch takich rozwiązań.

Odpowiedzi. Litery C, 1 C_; wyłapujące w odpowiedziach oznaczają stale, które przyjmują, jeśli nic ma innej informacji, dowolne wartości rzeczywiste

a) v = Cj~-t-C\x, \>0. b) y = C',x+ C»(x²-1). c) y = C\x^: * C--y. x>0

X *    *    x

y = C,x - CjX In a + xln² x. y, = xlnx(l + lnx).

y-C,x>    3'.=-T-T-*^>0

X* x    xⁱ X

ai y = C,c' • C_:c \ b) y = C,c' + C,e*\ c)y«C₍+C_Jc^,\ d) y-C',c* +C,xe", e) y«C,cosx + CjSinx. f) y-C,cos2*-C_zsi»2x. g) y = C,c³* *C\xc²\ h) y = c'^!{C,cos3x-C,5in3x). ł)y = C, ♦ C\c*‘

5.

y-C,c-‘ ♦ C_;c^ł*, a) y-C₁e‘^,-C,e²*, b) y-C,c * • (I-C, )e*\ np.: y = e^:*. y = e‘\ y-2e"'-e^:*, c) y=e'*-e^:'

y-C.^Cje-²¹. aly-UC/²', b) y = C,-C,c'^J\ C, <0 a) y=C| -C.\e* -x^: -2x . b) y-C.c²* +C₂c'^H-5/4c' .

= C|Cosx+C2sinx-2xcosx4-słnx, d) y = (C, « C_:x)e‘ W’ - I, = C,e‘ -< C₂c'’-i-xe'-l-ł-(c'^ł-c*)ln(l + c‘).

c) y e)y

0 y^; »> y c) y c) y g) y

a) y c) y

= (C, -* C_;x - lln(4 ♦ x²) ♦ |«rctg±)c\

= -xc~\ h) y = 2x³-r3x^:-*-9x *-3,

*<2x-2)c\ d) y = (jx^J--jx)c^{1 2}.

= -3x. D y = (x + l)co!»x + xsinx .

= -2xc'*, h) y=x + l-e*, i)y = xsinx. j) y=x^:e *-3cosx.

C,c’ + C_:c'³'-x . b) y=C|C +C₃xe ^u +-^(3cosx + 4sinx).

(C, +CjX-*-yx^ł +x^: )e*. d) y = C, +C₂c ^u-3x6"**

c) y=(C,cosx+C»5inx)c‘-x²+1. O y*=C,+Cje* - 2x* *4x*-^c^:’

10. a) y-C, >C,c"-cosx-»sinx . b) yMC^cosiK+CjSn^łc* ♦-x+ —.

--=4—. d) y = (C, ■*-C₂x + -)c*,

sinx 2amx    x

C,cosx +C\5inA ■*-

c)y cl y

u) y

h)    y

i)    y.

j)    y^; My

ctwr x

= C,e‘ +C₂c *-(x² t-x)e'\ f) y = (C, + C₂x + xln* x-2xlnx -2x)e'', = C, -fCje^x-xc’-x,

= C, cosx-t-C_:sinx-cosx(l + lnjstnx|)-xsinx .

*C,e^J' -łCjc'²* -c'.

= C, cosx+C. sin x - xcosx *-sin < Inisin x^:,.

= C,+C_:c^ur±x\

ł) y = C,c* +C₂c^u ~c*»2x—j«in2x -*-2.

3 .

1

a) y = (l-2x t-x^ł)e'\ b) y = -3cosx-3x^: - \t6.

c)    y = f2 ♦ 2xurctgx - ln(l *x²))c ¹.

d)    y = cosx(l-*-ln(-cosx)+xsinx, x 6(x/2,3n/2).

e)    y = cosx-sin2x . 0 y = 2xc‘ +(x-I)c'’.

2

- y-C,e* +C_;xc’ +x^: +4x. y= e* +C₃xe* + x^; -4x ¹⁴ y=C,e* -tCjC* *e ^ł*, y=C,e*-C,c’*+c”³*, C, <0. ^l5,    y=(C| t C₂x x²)e*. u) y=ix² fx-5|c*.

b) y = (UC₂x+»²)c^x dla C_;€<-2J!>.