3544073669

1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego

Przykład 1.6. Rozwiązać równanie 2ydx + (y¹ — 2x)dy = 0.

Zauważmy, że równanie to można doprowadzić do równania liniowego ze względu na funkcję x = x(y)

da; x

dy y

Postępując analogicznie jak w przykładzie 1.5 otrzymujemy

n 1 2 x = Cy- -y .

Zadania

Znaleźć całkę ogólną równania:

L ^ +

da:    x

2- y' -ytgx= — cos a;

3.    (1 + y¹) da: = ^\/l + y¹ sin y — xy^j dy Rozwiązać problem początkowy Cauchy’ego:

4.    xy' + y — e^x — 0, y(a) - b

5.    y' -    - 1 - z = 0, j,(0) = 0

6.    Wykazać, że równanie y' + ay = e^mx, a,m € R ma rozwiązanie szczególne postaci y\ = be^mx, jeżeli m ^ —a oraz yi = bxe^mx, jeżeli m = —a.

Odpowiedzi

^ly=1rⁱ⁺^

2.    y= — (C + z)

COS X

3.    x\/\ + y¹ + cos y = C

e^x ab — e^a

4.    y= — +-

,    ¹ / n-ó ,    •    \    ¹ +x

5. y = - (a;v 1 — ar + arcsina;) W -

16

1

   ' V 1 - x