3544073667

1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego

Odpowiedzi

, C : ¹-v = ---

3.    x = y(C- ln|y|) V y = 0

4.    y/x² + y² = Ce~ ^{arc tg} *

5.    2y³ — 3a:y² + 6a:²y = C

6.    3x + y + 2 ln \x + y - 11 = C

7.    (x + y - l)³ = C{x - y + 3)

8.    (x - C)² - y² = C²-, (x - 2)² - y² = 4

⁹-    (ca:²-i), (C^> °); y = ^(x²-

~2 , ..2__ y

--C V y = 0

V y = 1 — x

10. y' = -

x² + y² = Cx;

/ = -, (C/0);

2/ =

y - \/x² + y²

a:

1.3.3. Równania liniowe

Równanie postaci

(1.7)

(1.8)

y' +?(*)» = «(*)

nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym, natomiast

y' + p(x)y = o

równaniem liniowym jednorodnym.

Twierdzenie 1.2. Jeżeli p,q € C[_a,*,], to dla dowolnych (a;o,yo) €]a,b[xR, istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania (1.7) spełniające warunek początkowy y(x o) = yo-

Konstrukcja rozwiązania ogólnego

dla równania liniowego niejednorodnego (1.7)

Szukamy całki ogólnej y równania liniowego jednorodnego (1.8). Łatwo sprawdzić, że

y = Ce~^Ff-^x\

gdzie P jest funkcją pierwotną do p.

14