3582320956

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ€DU I

1. Wiadomości ogólne.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

F(x,y,y')=0    (1)

W danym równaniu y‘ występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty, tzn. x, y, mogą występować lecz nie muszą. Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję różniczko walną y = «p (x)

która spełnia dane równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału, całkę taką nazywamy szczególną. Linią (krzywą) całkową równania różniczkowego (1) nazywamy wykres każdej funkcji, która jest rozwiązaniem (całką) tego równania.

Najczęściej takie równanie występuje w postaci pochodnej

y‘ = f(x,y)    (2)

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowanego (2) nazywamy każdą taką funkcję postaci

y = V (x; C)    (3)

która spełnia równanie (2), przy czym stała C wynika z całkowania tego równania.

Przykład:

Dla równania różniczkowego y’ = 2y

rozwiązaniem (całką) ogólnym jest y = Ce²*

gdzie C jest dowolna liczbą rzeczywistą. Nadając parametrami C np. wartości (-3,0,1,5), otrzymujemy rozwiązania (całki) szczególnie

y = -3e^2x , y = 0 , y = e²* , y = 5e²*

W wielu zagadnieniach (szczególnie fizycznych i technicznych) często występuje potrzeba wyznaczenia rozwiązania szczególnego, spełniającego tzw. Warunki początkowe. Polegają one na wyznaczeniu spośród linii całkowych danego równania różniczkowego takiej linii, która przechodzi przez z góry dany punkt (xo, yo,). Zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia wartości Co parametru C z równania

y = ¥ (*0; c₀)

Po podstawieniu otrzymanej wartości Co do rozwiązania ogólnego (3) otrzymamy równanie szczególne

y = y (x; C₀) = cp(x)