3544073679

Rozdział 1.

Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego 1.1. Uwagi ogólne

Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające zmienną niezależną x, nieznaną funkcję y, oraz jej pochodne y',

y",• ■ •,v⁽ⁿ⁾

F(x, y, y',... , jM) = 0    (1.1)

gdzie F: Rⁿ⁺² -z R.

Definicja 1.2. Rząd równania (1.1) jest równy n, jeżeli w równaniu (1.1) występuje pochodna y^ⁿ\ natomiast nie występują pochodne rzędów wyższych niż n.

Definicja 1.3. Rozwiązaniem równania (1.1) w[a,b] nazywamy funkcję y o tej własności, że

/\ F(x,y(x),y'(x),... ,j/⁽ⁿ⁾(a;)) = 0.

xe[a,6]

Definicja 1.4. Problemem początkowym Cauchy’ego dla równania (1.1) nazywamy następujące zagadnienie:

Znaleźć rozwiązanie róumania (1.1) spełniające warunek początkowy (1.2)

(1.2)

y(x o) = yo v'M = yi

( y^{(n 1)}(x₀) = Vn-l

gdzie: xq =€. ]a, b[, yo, yi,..., y_n-i są zadanymi liczbami.

Definicja 1.5. Całką szczególną równania (1.1) nazywamy rozwiązanie zachowujące jednoznaczność rozwiązania problemu początkowego Cauchy’ego.

Definicja 1.6. Wykres całki szczególnej nazywamy krzywą całkową.

Definicja 1.7. Zbiór wszystkich całek szczególnych równania (1.1) nazywamy całką ogólną.

7