426907366

Wykład 2

Definicja 2.1 Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu n:

Równanie

F(t,x,x,x,    = O,    (2.1)

gdzie F: R^l+d(^n+l) —> R^dt oznacza równanie dla krzywej x(t), w przestrzeni R^d. Rozwiązaniem (trajektorią, krzywą całkową) tego równania nazywamy każdą krzywą x(t) taką, że

F(t,x(t),x(t),... ,x^(f)) = 0.

Uwaga

Równanie (2.1) można interpretować nieco inaczej, traktując x, x,..., x^ jako zmienne niezależne. Rozwiązaniem nazywamy wówczas krzywą (t,x(t),...,x^<-ⁿ^(t)) w i?^1+rf("⁺¹), spełniającą (2.1), taką, że

dx

dt

■ u\    &^x

^{= x}®-~’dF

Równanie typu (2.1) nazywamy równaniem w postaci uwikłanej, natomiast o równaniu

(2.2)

= f(t,x,... ,x^ⁿ ^)

mówimy, że ma postać rozwikłaną. Takie równanie można zastąpić równaniem autonomicznym (tzn. z prawą stroną niezależną od czasu t) rzędu 1, równoważnym układowi n + 1 równań:

' f = 1

x = X\

X_n-2 = ®n-l

= f(t,X,X i,...,X„_i).

Twierdzenie 2.1 (Peano) Oznaczmy K — [to, to + a] x {||a; — Xo|| < b} C R^m+l. Niech F: K —> R^m będzie funkcją ciągłą, sup(_tx)_6ft- ||F(t, x)|| = M. Wtedy zagadnienie Cauchy’ego, znalezienia takiej funkcji x(t), że

x = F(t, x)    (2.3)

i spełniony jest warunek początkowy a;(to) = %o, ma rozwiązanie na odcinku [to, to + a], a = min(a, -^) (na krańcach przedziału [to, to + a], i oznacza pochodną odpowiednio lewo-, prawostronną).

9