00098464

144

Ł RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE ^{1 2 3 4 5}

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

II

1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Przypuśćmy, że szukamy funkcji u(x, y) spełniającej w każdym punkcie (x;y) prostokąta P:a<x < &, c < y < rf równanie

4g-(BJ>

przy czym f(x, y) oznacza daną w tym prostokącie funkcje Ciągłą ze względu na zmienną x. Niech F(x, y) będzie dowolną funkcją klasy C² w prostokącie P i taką, że

a[£=-H

Wówczas zbiór funkcji

«(■«, y) = POf»y)-l-sO')    (iL2)

gdzie g(y) jest dowolną funkcją klasy C² w przedziale <c, d), zawiera wszystkie funkcje klasy C² w prostokącie P spełniające równanie (II. 1) i tylko takie funkcje.

Mówimy, że zbiór funkcji (11.2) jest rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania (II. 1).

Jeżeli żądamy dodatkowo, aby funkcja u(x, y) spełniała warunek

u(*o,y) = ?O0    (IL3)

przy czym .-c₀ e<a,i> oraz funkcja f(y) klasy C* w przedziale <c, d) są z góry dane, to biorąc pod uwagę (II.2) otrzymujemy <p(y)    F(x₀, y)-l g(y), skąd

g(y) = <p(y)-F{x₀,y).

Warunek (II.3) nazywamy warunkiem początkowym, a liczbę x₀ oraz funkcję tp(y) — wartościami początkowymi.

■ Tak więc funkcja

«(*> y) — F(x, y)+v(y)-F(x_a, y)    (n.4)

jest jedyną funkcją spełniającą w prostokącie P równanie (II. 1) oraz warunek początkowy (II.3),

Funkcję (II.4) nazywamy rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną równania (II. 1), spełniającą warunek początkowy (11.3).

1

ĆWICZENIA

2

Jakie równanie nazywamy równaniem różniczkowym nieliniowym?

3

Ł Wymienić metody przebliżonego rozwiązywania równań różniczkowych nieliniowych. Na czym tc metody polegają?

4

   Co to jest cykl graniczny? Kiedy mówimy, żo cykl graniczny jest: a) stabilny, b) niestabilny, c) pólstabiloy?

5

   Stosując metodę małego parametru, znaleźć pierwsze przybliżenie rozwiązania okresowego równania S— «(1—**)*+* — 0, spełniającego warunki początkowe: z(0) — 0, ż(0) — 2.

Odpowiedzi. 4, X Z, 2fiint+ — cost- — cos3/.