00098469

II. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWI-: CZĄSTKOWE

II. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWI-: CZĄSTKOWE

* związek między jednorodnym równani:

cząstkowym liniowym rzędu pierwszego a układem równań charakterystyk lego równania.

2. Jak rozwiązujemy równanie różniczkowe cząstkowe ąuasi-liniowe oraz liniowe niejedno-

krzywą, nic będącą charakterystyką tego małym

Rozwiązać następujące równania o pochodnych cząstkowych w c iiu dowolnego punktu płaszczyzny Oxy, różnego od początku układu:

1 du

c) — - -lwy

b) 2r-d) (Jty¹-

Wyznaczyć powierzchnię całkową danego rów

)rr ciii    l

rr^.« — = 0; u = -y’, AT-0

*V)-r- = 9(x*-y*)u dy

inia, przechodzącą przez daną krzywą:

b) (3y—2u)—--3.r ——ł-2x = 0; *»+y» funkcję jednej zmiennej klasy C‘ w przedziale (— x>, -| cc), b) F{u—y,xy^a) = Q jest całką ogólną w postaci uwikłanej, przy czym F oznacza dowolną funkcję dwóch zmiennych, klasy C

I \

w dowolnym obszarze płaskim, c) ff*³—ln|y|, Zę--J — 0 jest całką ogólną w postaci

uwikłanej, przy czym F oznacza dowolną funkcję dwóch zmiennych, klasy C w dowolnym obszarze płaskim, d) pjx^zy^,u, — +    = o jest całką ogólną W postaci uwikłanej, przy czym

F oznacza dowolną funkcję dwóch zmiennych, klasy C' w dowolnym obszarze płaskim.

5. a)

_{b) x}i_+la__uj__{1 = 0i    c)}

3. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE LINIOWE RZĘDU DRUGIEGO

Wiele zagadnień fizyki i techniki prowadzi do równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego. Równania te nazywamy często równaniami fizyki matematycznej. Niektóre równania fizyki matematycznej omówimy w dalszej części tego rozdziału. Będą to równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu drugiego. Dlatego obecnie podamy pewne ogólne informacje o takich właśnie równaniach, ograniczając się do przypadku dwóch zmiennych niezależnych.

Def. Równanie różniczkowe cząstkowe

+.(«)>- f

+b(x,y)Ą^Uy —c(x,y)u+d{x, y) = 0    (11.54)

nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu drugiego z funkcją niewiadomą u - <Ąx, y). Zakładamy, że funkcje dane /!(*,>’), B(x, y), C(x, >•), a(^,y), b(x, y), c(x, y) i d(x, y) są klasy C² w pewnym obszarze płaskim D, a ponadto funkcje A(x, y), B(x, y) i C(x,y) nie znikają jednocześnie w żadnym punkcie tego obszaru.

Przeprowadzimy klasyfikację równań postaci (11.54) w zależności od współczynników przy pochodnych cząstkowych rzędu drugiego. W tym celu bierzemy pod uwagę wyrażenie

6(x, y) = A{x, >■) C(x, y)- B²(x,y)    (U.S5)

Def. Mówimy, żc równanie (11.54) jest w zbiorze D typu: hiperbolicznego    parabolicznego    eliptycznego

wtedy i tylko wtedy, gdy

f\ (A(>r. y) < 0)    /\ (b(x,y)^0)    /\ (ó(*, y) > 0)

(r,y)iD    ix:y)elł    (»:r)tO

Przykłady

a)Równanie fali płaskiej (równanie struny)

<>^ł« ń³u dx' il³ = °

z funkcją niewiadomą a - u(x, i) jest równaniem typu hiperbolicznego w dowolnym obszarze

płaskim.

z funkcją niewiadomą u - u(x, t) jest równaniem typu parabolicznego w dowolnym obszarze