IMAG0406

i

Równania różniczkowe cząstkowe rzędu II 1

Zadanie 1 Określić typ równania różniczkowego:

J d*u , t&u . a ,

dar²    dy²

ćPu . ĆPu

dx

^b) a*^{2 4}0t^s i

d²U

i®²

Hg

9²lt

Bxdy

d) sin² i||g| — 2y sin a;

M

H

^C^2/²

du dx

2    1 &U

dxdy

i Ódp. a), e) łyp eliptyczny; \>), c) typ Łiperboliczny; d) typ paraboliczny. V Zadanie 2 Rozwiązać równanie różniczkowe cząstkowe:

HB o b) JŹsr =    - e*,

o)

dxdy

ćFu

da>dy

(fiu

= 4 z warunkami u(x, 0) =^«(0, y) = e^v

d) +4a³ — if e ²* = 0 z warunkami tó(£jfl) = 0,u(0,y) = --j/³. mas • *•:. *    ■ u

Zadanie 3 Podać funkcję speimającąrównanie różniczkowe cząstkowe    ⁼⁼ ® ^{oraz waru}

«(x, 0) ii 0, ut(x, 0) S= ^(x), gdzie ij> j^t daną funkcją klasy C¹. Wykonać sprawdzenie,że wam u_t(x,0) = ip(x) jest spełniony;

Żądanie 4 Rozwiązać równanie:

^a) 4== = .J|1 z warunkami u(0, i) = u(2, t) =j),«(x,0) 12sin47rx,

■*ds²    ®

<? b) a²|^ z warunkami u(Q, t) <= u(l,t) <=0,tt(x,0) = /(as) = j

I x dla | < x H i

Lg²u,i d²uj

«0. Jp    i ^watunkami f^⁰**) I    -cos2irx.

Odp. a) u(x,t)

mm t' ihiss ~^^fc~a i *% i (2fe ~ i

t c)    z warunkami w(0,t) = u(3,i) = 0,u(x,0) = 3x-x²,—(x,0) =sin3łrx

1    I ^ ■ •' rP feffi.. ?2

c) u(x,t) s= — sin 37rx sin 3irt + o?r

d)‘ m(x, t) = 1118

cos |S

IM (2n — l)łrx (2n — ljuf /, /f.    ₁ \o n sin jt" ■'" cos    :

Zadanie 5 Rozwiązać równame struny ||S| — —^ H o metodą Fouriera oraz d’AIemberta w o

. • 111jii.    ~4~    j    d\X

D — {(x, t) :0<x<7rAi>0} przy warunkach początkowych tt(x,0) = 0, -^-(x,0) = 4sin warunkach brzegowych u(Ó, t) = u(tc, t) = 0.