str228

228 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

gdzie r i q są określone wzorami (2). Widać, że funkcja (3) spełnia żądane warunki, a mianowicie

g(A,B)=--

Q

jest funkcją harmoniczną względem punktu B, a ponadto

lim|^- + 0O4, fl)J = 0.

co możemy zapisać następu

(5)    GO Funkcję u(x,y) możemy

(6)    «

(1)

Rys. 4.8

Zadanie 3.5. Wyznaczyć rozwiązanie u(x, y) równania

d²u d²u _ dx² + dy²

gdzie P są punktami leżący: przybiera postać

(7)

gdzie

dG ₌ (x+ >?)[(.

dr]    [i

zatem

(8)

Po uwzględnieniu zależni

(3)

w półpłaszczyźnie y>0 spełniające następujący warunek brzegowy:

0    dla    x<—a,

(2)    u(x, 0) = /(x) = • K_o>0 dla -a<x<a,

0    dla    x > a.

Rozwiązanie. Wyznaczamy funkcję Greena dla półpłaszczyzny y>0 (patrz rys. 4.8). Zgodnie ze wzorem (3.20) funkcja Greena na płaszczyźnie przybiera postać

G(A,B) = ln—+g(A,B). r

Niech punkt M będzie punktem położonym symetrycznie do punktu A(x, y) względem prostej y = 0. Współrzędnymi punktu M są zatem x oraz —y. Odległość punktów A(x, y) i B(£,ri) oznaczmy przez r, natomiast punktów B i M przez q, tzn. że

r = V(x-£)²+(y->7)²,

q = >J(x-ę)²+(y+ri)².

Funkcja Greena o własnościach podanych w definicji 13 ma postać

G(/4, B) = ln—hln q, r

skąd po obliczeniu całki ozna u(x

§ 4. Równanie Poissona

Definicja 1. Równaniem stępującej postaci:

(4.1)

gdzie / w zależności od rodź; nych np. / = /(x, y, ż) — w wym, / = f(r, 0, (p) — w ukł; (patrz wzory 3.3, 3.4 lub 3.:

(4)