str258

258 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO § 8. ROZV

gdzie D„ = A„C„. Funkcja (8) spełnia warunek brzegowy (3). Wartości współczynników D„ wyznaczamy w ten sposób, ażeby uczynić zadość warunkowi początkowemu (2)

00

r<a.

Współczynniki D„ obliczamy zatem z następującego wzoru:

(9)

0_

M«^r)

dr

dr

wówczas z równania (1) ot

skąd po obliczeniu całek mamy

29₀

gdzie Ji(x) jest funkcją Bessela rzędu pierwszego.

Wzór (9) wynika z ortogonalności funkcji /₀^— ^r^ ^z wagą ^r w przedziale 0<r<a (patrz

wzór 8.8). Obecnie możemy napisać końcową postać funkcji B(r, t) opisując pole temperatury w rozważanym stygnącym walcu. Jest to funkcja

„2

9(r

•    w

, t) + 29₀

yJi(y«)

gdzie y„ są kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania (7).

Zadanie 8.8. Wyznaczyć rozwiązanie równania przewodnictwa

d²u 8u

^    dx^{2 =} ~dt ’

spełniające następujące warunki graniczne:

(2)    u(x,0) = 0 dla 0 <x<a,

(3)    u(0,l) = 0 dla    f >0,

(4)    u(a,t)=U_o>0 dla t>0.

Rozwiązanie. Transformujemy obie strony równania (1) względem zmiennej t, oznaczając

U(x, s) = L,{u(x,t)} = J u(x, t)e~*dt,

Po uwzględnieniu warur

(5)

Obecnie transformujemy wi

(6)

(7)

Wyznaczamy rozwiązani wiązaniem ogólnym równar

l

Z warunku (6) mamy

natomiast z warunku (7) w

U(a,i

Transformatą szukanej f

(8)

Nad funkcją (8) d okoń ujem; Biegunami funkcji (8) są

h =

Wszystkie bieguny s_k są ze wzoru

(9)

liczymy zatem residua wysti

u_k(x,t)= rez

k^:

s= —— t

2U₀(

17*