47632 str224

224 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

gdzie A(x,y,z), B{^,t],Q i

r = | AB\ = V(x - O² + 0' —    + (z — C)²,

przy czym funkcja g(A,B) ma następujące własności:

a)    spełnia równanie Laplace’a względem punktu B w obszarze Q,

b)    lim g(A, B) =--—, gdzie A, B e Q i PeS.

b~*p    \AP |

Własność 8. Funkcja Greena (3.13) spełnia równanie Lapłace'a w każdym punkcie A e Q i A # B, a ponadto lim G(A, B) = 0 dla Be Q i PeS.

A->P

Własność 9. Funkcja Greena (3.13) jest symetryczna względem swoich argumentów G(A,B) = G(B,A) dla A,BeQiA*B.

Własność 10. Jeżeli G(A, B) jest funkcją Greena równania Laplace'a w obszarze przestrzennym Q ograniczonym gładką powierzchnią S, to rozwiązaniem równania Laplace'a u (A) w obszarze Q spełniającym na brzegu S warunek u{P) = f(P), gdzie f{P) dla PeS jest z góry daną funkcją, jest funkcja następującej postaci:

(3.M)    u(A)= -Ljjfm^sLłż±Iłd_S,.

s

Powyższy wzór stanowi rozwiązanie zagadnienia Dirichleta w przestrzeni za pomocą funkcji Greena.

Definicja 10. Zagadnienie Neumanna polega na wyznaczeniu funkcji u (A) ciągłej w obszarze domkniętym Ś2+S¹ i harmonicznej w obszarze Q, której pochodna normalna na brzegu S przybiera z góry dane wartości

(3.15)

= /(P),

gdzie f(P) jest funkcją ciągłą spełniającą następujący warunek:

JJ/(P)rfS_p = 0.

s

Własność 11. Jeżeli istnieją dla danego obszaru Q i danej funkcji brzegowej dwa rozwiązania zagadnienia Neumanna, to w obszarze domkniętym QfS różnią się one od siebie o stalą.

Definicja 11. Zagadnienie mieszane polega na wyznaczeniu funkcji u (A) ciągłej w obszarze domkniętym Q+S, harmonicznej w obszarze Q i spełniającej na brzegu S następujący warunek:

(3.16)    ^ +oc(P)u(P) = /(P),

gdzie Pe S i a(P) oraz /(P) są danymi funkcjami ciągłymi, przy czym a(P) # 0.

Własność 12. Zagadnienie mieszane ma co najwyżej jedno rozwiązanie. W zależności od rodzaju układu współrzędnych równanie (3.1) na płaszczyźnie przybiera odpowiednią postać

a) we współrzędnych prot

(3.17)

b) we współrzędnych bieg

(3.18)

< • Definicja 12. Rozwiązani tencjalem logarytmicznym na

(3.19) gdzie

Własność 13. Funkcja (3. punktu P(x₀,y₀).

Definicja 13. Funkcją Gn linią gładką C nazywamy fi

(3.20)

gdzie

przy czym funkcja g(A, B)

a)    spełnia równanie Lapl

b)    limg(A, B) = \n\AP\,

B-P

Własność 14. Funkcja C Ae D i A =£ B, a ponadto I

A

Własność 15. Funkcja C G(A,B) = G{B,A) dla A, l

Własność 16. Jeżeli G(A skim D ograniczonym linią glą spełniającym na brzegu C wari jest funkcja następującej pos,

(3.21)    u

Powyższy wzór stanowi : mocą funkcji Greena. Warun

15 — Wybrane działy matematyki..