RR lista 4

Zad. 1.

Zad. 2.

Zad. 3.

Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych - Lista 4

Zbadać czy podane układy funkcji są liniowo niezależne:

(a)    1, 2, x, x²    (c)    1, arc sin a:, arc cos a;

(b)    5, cos² a;, sin²    a;    (d)    5, arctga:, arcctga:

Wyznaczyć Wrońskian dla następujących układów funkcji:

(a)    e^x,2e^x,e~^x    (c)    4, sin² x, cos2x

(b)    7r, arc cos x,    arc sin x    (d)    e^x sin x, e^x cos x

Pokazać, że dane funkcje są liniowo niezależne a ich Wrońskian jest tożsamościowo równy zero oraz naszkicować ich wykresy:

(a) yi(x) =

x e [-2,0] x € (0,1]

x € [-2,0] x e (0,1]

(b) Vi{x) = x²,    y₂{x)—x\x\\ x € [—1,1]

Zad. 4.

Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych liniowych jednorodnych:

Zad. 5.

(a)    4y" - 8y' + 5y = 0

(b)    3y" - 2y' - 8y = 0 (C) y" + 8y' + 16y = 0

(d)    y" - 10y' + 25y = 0

(e)    y" + 2y' + y = 0

Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań

(a)    y" + 4y' — 2y = 8 sin 2x

(b)    y" — y' = e^x sin x

(c)    y” + 2y' + y = x²e~^x cosi

(d) y" + 4y' + 4y = 8e~^2x

(e)    y" + 3y' = 3xe~^3x

(^f)    y" + y' + y = {x + x²)e^x (9) y" + 2y' + 5y = e~^x sin2x

(f)    y'" - 3y" + 3y' - y = 0

(g)    y'" -3y'-2y = 0

(h)    y'" + 6y" + lly' + 6y = 0

(i)    y^vr +2y^v + y^IV = 0

(i) y^iv + 4y'" + lOy" + 12y' + 5y = 0

różniczkowych liniowych niejednorodnych:

(h)    y" - 4y' + 4y = 2e^2x + 4x - 12

(i)    y'" + 2y" + y' = 5 + 2(sin x + cos x) G) 3y^iv + y"' = 2

(k)    y" — y = 2x cos x + e^x

(l)    _y" + _y = tg a;

(m)    y" -2y' + y=ę

(n)    y" — 2y' + y — e^x arctga:

Zad. 6.

Zad. 7.

Znaleźć rozwiązania szczególne następujących równań różniczkowych liniowych:

(a)    y" - 2y' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0    (c) y" + 4y' = 1, y(0) =    y'(0) = 1

(b)    y'" - y' = 0, y(0) = 3, y'(0) = -1,2/"(0) = 1    (d) y" + 4y = sinx, y(0) = 1, y'(0) = 1

Stosując metodę eliminacji, wyznaczyć rozwiązania równań:

/ » {(t) + y(t) = 0    (x' = x + 5y

\y'(t) + 4x(t) = 0    \y' = -x-3y

(c)

y' = V + z z' = y + z + x

Zad. 8.

Znaleźć rozwiązanie następujących równań lub zagadnień różniczkowych:

(a)    y" ~ \v' = 3x³    (c) (1 + x²)y" + 2xy' = y(l) = 1, j/'(l) =

(b)    (1 + y²)y" = 2y{y')²    (d) (y + l)y" = -(y')²,    3/(0) = 0, y'(0) = 1