Strona 1

o 3. 2_c> /li

ZADANIA Z ANALIZY II - Równania różniczkowe zwyczajne

1.    Sprawdzić, czy funkcja y = y{x) spełnia dane równanie różniczkowe:

a.    y = x²e^x, y"-2y'+y = 0

b.    y = 3 sinz - 4cosx, yP +y = 0

C. y = Ci + C₂e-* + C₃e*, y'" -y' = 0

2.    Wykazać, że dana funkcja y (z) jest całką szczególną danego równania różniczkowego:

a.    y - -^p-, xy' +y = cosx

b.    y = z j* ^—dl, xy' = y+xsinx

3.    Wykazać,że dana rodzina funkcji stanowi całkę ogólną danego równania różniczkowego:

a.    y = i£r> y +yctgz = o

b.    — Ci«"* + CfcW*, / + 2y"+y = 0.

4.    Wyznaczyć równanie różniczkowe danej rodziny krzywych:

a. y = ctx² b- r(ę) = -sJhf-C. y = Cie²* + Cje*

5. Rozwiązać następujące równania różniczkowe: a. y' = 2 £ (narysować krzywe całkowe),

b- V =

c.    y =

d.    «r*(i +y> = i

f- y = ^-

9-y = ^r

i.    y = t+v*²⁺y

j.    y = *saŁ k- £ «ł+tgł

I. y = t + (fp - dowolna funkcja klasy C¹)

6. Narysować krzywe całkowe równania y' =    ■ Wyznaczyć krzywą całkową

przechodzącą przez punkt P(l,2).

7. Rozwiązać zagadnienia Cauchy’ego: a. y' = T^ry, y(0) = 1

b- y = J7, X0) = 0