Obraz9 (49)

Zadaniu otwarł,o Zostaw 11

Zestaw III

(Liczby rzeczywiste)

* Zadanie 1. Oblicz

^3    1    1

W+l ' y/3 + l'

' Zadanie 2. Wyznacz p wiedząc, że

Zadanie 3. Wiadomo, że log₇3 = a oraz log₇4 = b. Wyznacz x w zależności od a i 6, jeśli 9^X = 28.

5 a 7

Zadanie 4. Liczby naturalne a i b spełniają warunek — < - < —. Wyzna., najmniejszą możliwą wartość b.

Zadanie 5. Wiedząc, że liczby dodatnie a i b spełniają warunek a² + b² = 7ab uzasadnij równość

a + b log a + log b

log

3    2

Zadanie 6. Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie

\x — m\ + \x — 7\ = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 7. Oblicz log₅ 20 • log² 5 + log² 2.

* Zadanie 8. Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Zadanie 9. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nic równość:

+1)¹⁰ -1 +    +1)¹⁰ +1 < 2 (x² +1)⁵.

* Zadanie 10. Uzasadnij, że liczba A — y/2 + \/5+ v^2 — y/E jest liczbą całkowitą

Zadanie 11. Liczba 2010 ma 16 dzielników będących liczbami naturalnymi.

a)    Ile dzielników naturalnych ma liczba 2010²?

b)    Ile dzielników naturalnych ma liczba 2010”, gdzie n € N?

Zestaw IV

(Wyrażenia algebraiczne)

Zadanie 1. Przekształć do najprostszej postaci wyrażenie (    \/2 c²    a \ a

y \/2ac — a²    \[2c — aj a + \/2c ’

m, następnie oblicz jego wartość dla a = 5 + Vf ic=^.

Zadanie 2. Oblicz różnicę między największym i najmniejszym pierwinnlk wielomianu

W (x) — x⁴ — 6x³ — 2x² + Qx + 1.

Zadanie 3. Dane jest wyrażenie

W(x) =

'lla x E M\{—1,0}.

a) Wyznacz liczby A i B tak, aby

1

x(x 4-1)

x x A 1

_TTr, . A B W(x) = —1-

1-2    2-3    3-4

2009 • 2010

b) Uzasadnij, że suma 1

1 1 + 77-^ + ^+...+

l<“st mniejsza od 1.

Zadanie 4. Trzy różne liczby dodatnie x,y i z spełniają warunek:

y _ x + y _ x x — z z y

X

Wyznacz wartość ilorazu —.

y

Zadanie 5. Uzasadnij, że

2 (1 + 3 + 3² + ... + 3²⁰¹⁰) < 3²⁰¹¹. Zadanie 6. Wyznacz liczby naturalne A, B i C tak, aby