68154 skan0001 (14)

1. LICZBY ZESPOLONE

Liczba zespolona to para uporządkowana [x,y) liczb rzeczywistych x,y. Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w tak zwanej postaci algebraicznej lub kanonicznej:

z^x + iy,

gdzie i jest jednostką urojoną, czyli i² = —1. W powyższym zapisie x jest częścią rzeczywistą, natomiast y częścią urojoną liczby zespolonej i używamy oznaczeń: Re(z) = x, Im(^) — y. Liczba a;—iy jest liczbą sprzężoną do z i piszemy z = x—iy.

Modułem liczby zespolonej z — x + iy nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą \Jx² + y² i oznaczamy \z\WĘQ,x² ^-y². Argumentem liczby zespolonej z — x -f iy nazywamy każdą liczbę rzeczywistą ip spełniającą warunki

^ \z\ cos (p = x, \z\ sin <p — y.

Widać, że liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów. Ten z argumentów, który należy do przedziału (—7r, 7t], nazywamy argumentem głównym i oznaczamy symbolem arg(^). Argument główny jest określony jednoznacznie. Każdy inny argument oznaczamy symbolem Arg(^), więc Arg(^) = arg(^)-|-2fc7r, k = 0, ±1, ±2, Postacią trygonometryczną liczby zespolonej | jest postać z = |^|(cos ip+i sin^), gdzie ip = Arg(z). W zastosowaniach przydatna jest postać wykładnicza: z = \z\e^itp. Powyższa postać wynika ze wzoru Eulera = cos ip+ i sin ip.

Będziemy też korzystać ze wzoru Moivre’a:

(cos ip -j- i sin <£>)ⁿH cos nip + i sin nip,

gdzie n jest liczbą naturalną.

Na zakończenie tego krótkiego wstępu teoretycznego przypomnijmy pierwiastkowanie liczb zespolonych. Jeżeli z = r(cosip + i sin ip), to

_r - ( ip + 2k%    . . <p + 2kn\ , I I

^=vr(cos---f1 sin -——^- j , k — 0,1, ■ • -,raHl. (1.1)

Jeżeli z 0, to tfz ma dokładnie n różnych wartości. Dodajmy, że dla k = 0 liczbę zespoloną

(cos — i sin —) .

\ n nJ

nazywamy pierwiastkiem głównym.