zadania z wielomianów zespolonych

4 Liczby i wielomiany zespolone

1. \N ykonać działania na liczbach zespolonych.

*)2*-t-3-(2-M)«-4}-(l-30*. b)(l-M)*-(3 + 0(3-M), c) <1)“^.

«)-0-v^)^r-(i ₊ A)V'9₂i±|₊^₊5^₊2i±i.

2.    Podać moduł i argument liczb^tan | - \/2 - 1^

4)3, b) -2, c)-v^3<. d)l-<, e)l-»v/3. t)-y/2-iyfi, g)-2 + 2«. ^h)3 + iv^jr V* + V5 + iV2 - V2.

3.    Przedstawić liczby w potaaci: trygonometr>'cznej, wykładniczej i kartezjańskicj.

»)((l+«)-0-OVS)(>-<). b) (i - I)¹⁰, c) co. lf»l + i.!n (■!?»), d)-0' 7^3-

4.    Wyznaczyć Re z. Ima, |x|, Re A, Im A, Re i±|, Im (z^a - 2z + l) , dla liczb

•>«-

1-1

2 + .'

^b>*-^jLr-⁵£‘-

5.    Wyznaczyć pierw watki kwadratowo liczb zespolonych:

4) >/5*. b) >/-!• c) y^.    d). >/-3 + 4i, o) \/-S + lit. f) V? - 24i, g) 'JT^773, h)* n/1

6.    Wyznaczyć pierwiastki różnych stopni z liczb zespolonych: a)’ s/T. b)*    c)* V\. d)* t/-». e)*. </i.

A

l^7^)iVyxnaczyć pierwiastki zespolone trójmianów kwadratowych:

a) w (z) *= z^a + 5iz - 4 «= 0, b) to (z) - z² + (4 - 2») z + 3 - 2«, c) w (z) = z² - (2 - 3i) z - 6i, d) te (x) - z² - (3 + 3i) * + 9i, e) to (z) - i:³ + (1 +») z + 1, f) to (z) - 2iz³ + (3 - i) z + 2i - 2.

8.    Wyznaczyć pierwiastki wielomianów zospolonych o współczynnikach rzeczywistych

a) u’(i) = z^a - 2z + 5. b) to(z) » z⁴ + 5z^a + 4. c) to(z) « z* - z* + z - 1. d). to(z) =* z⁴ -6z^a + 25.

9.    Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianów zespolonych

a)* to (z) — z⁴ -(3-5i) z¹ — 3t — 4. b)’ to (z) - z³ - z² + (3 - i) z - 2 - 2i. c)* z⁴ - (1 + i)z³ + iz - ś + 1.

10.    Rozłóż na czynniki liniowe wielomiany zespolone

a) to(x) -2<x^a -2z + 4i, b) to(z) - -iz² - (1 + 4») z - (2 + 4i), c) to (z) - z⁴ - 16,

d) to (z) := z⁴ +4, e) to(z) «= z⁴-5z^a-36, f) u»(z) = z⁴ + 7z^a + 12, g)* u>(z) « z³ + z - 10,

h)* to (z) ■■ z³ — (3 + 4i) z^a - (4 — 12i) z + 12,    i)’ to(z) - z⁴ - (2 - 2i)x³ - 4iz^a + (2 + 2i)x - 1,

j)" w(z) - z* - (l - i)*² +** ~ (*-&) • k)** to(z)-z³ + 2iz^a + 5z + 6t. !)•* to (z) - r³ + 2tz + 4z + 8i,

m)** u* (z) - z⁴ - 2z³ + 4z^a - 4z + 4, n)** to (z) » z⁴ + 4x³ + 8z^a + 12z + 15

11.    Na płaszczyźnie C zaznaczyć zbiory A U U, jeżeli:

a)    j4 — {x : |z - 2t| < 2}, /? *» {|x + 2| < 2},

b)    A - (i : |« -    , D - {: Im(« + 3)},

c)    A - {z : 1 < |z| < 4}, D - {z : largz| < f} ,

d) ^ł ^-{z:|z-l| + |z + l|<4}.£l-{z:|z-l|-|z + l|<4}.

•)* A - {z : 2 < |z - .| < 4), D - {» : |z| < |z - 2a|>.

f)* A - |z : Re < 1 i |~"[| > 1 j , D = jz : Im < 1 j.

5