Przykład
Dana jest część rzeczywista analitycznej funkcji zespolonej. Znajdź jej część urojoną. Wiemy, że funkcje u i v będą stowarzyszonymi (sprzężonymi) funkcjami harmonicznymi.
v) = 2x — X3 4* 3AT2 (u jest harmoniczna)
ux - vy =2-2x2 + 3y2
=> v(.r,y) = f 2 - 2x~ + 3y~dy = 2y-3jc2j^ + y3 + ^(jc)
v = —u => —6xy + - —6xy
v(.\\ V) — 2y — 3x2y + y3 + const (v jest harmoniczna)
f (z) = 2x - x3 + 3xy2 + /(2j - 3.v :y + y3 + const)
f (z) = 2Z —Z3 +C (f jest analityczna)