18712 zad38

Przykład 8.4. Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa:

p{x,y) =

\x + y, 0<x<l, 0<y<l,

[0,

*<0, x>l, y<0, y> 1.

Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe p_x(x) i p_r(y), gęstości warunkowe p(x|y) i /?(y|x), wartości oczekiwane fi_x i ju_Y, wariancje a_x i cr_Y oraz kowariancję c_n i współczynnik korelacji p_xr.

Rozwiązani e:

Gęstości jednowymiarowe:

=    +    ⁼ * ⁺    0 < x < 1,

0    ¹

1    i

i⁷r(>^;) ⁼ J(^{x +} >^;)^{dx =} >^{? +} ^’    0<y<\.

o    ¹

Gęstości warunkowe:

_p(,_W=Z(Ml₌£±Z₌ąilZ), o<i<l, o<_y<l,

^{v ;} p(y) ¹ 2v+i

y+

l 2y +1

os,si. o<_y<i.

^v } p(x) „ „ 1    2x + l

x + — 2

Wartości oczekiwane:

^{1    1} T    1

Mx    = jxp_x(x)óx = jx \x+-

0    0 k    A

dy = —. 2) ' 12

7

dx =—, 12

Wariancje:

=/*-

1

, X + —

12 >/ l 2y

⁷Yf O I2J r⁺2j

dx =

dy =

11

144¹

11

144’

Kowariancja: ^cu = ^mu

¹ 5    1

^mn =fjxy(x + y)&C‘dy = ~_t

0 0    ^

= -0,0069.

Pxy -

- u ^ax^ar

-0,0069

11

144

= -0,0909.

1

v 12 12; 3 U2

Współczynnik korelacji: