4515

56 Wielomiany

• Przykład 5.6

Podane zespolone funkcje wymierne właściwe rozłoży6 na zespolono ułamki proste:

FW+i)’

. is + 9 _vx *+3    , 2ż⁴ + 8:^a + 32_

_S(z* + *y

»)    ^b) -—77———; ^c)

Rozwieranie

a) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rotkład na zespolone czynniki aieroikladałne

a* + 9 = (z - 3i)(r + 3i),

więc szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma postać

iz + 9

PT*

Po sprowadzeniu prawej strony

+ —Ł-r, gdzie A. fi € C. x — 3i x + 3«* *

równości do wspólnego mianownika otrzymamy

ia + 9 = A(a + 3i) + fi(x - 3i).

u + 9 = M + B)x + 3(A - B)i.

Ponieważ ostatnia równość jest prawdziwa dla każdego z € C, więc

{A + B = «,

3i(-4 - fi) = 9.

Rozwiązaniem tego układu jest para /I = B « 2i. Szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma zatem postać

»* + *> _ ri | *■_.

z* + 9    * — 3* z + 3 i

b) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład za zespolone czynniki nierozkładalne

(z - 1) (x^a + l) = (z - l)(a - •)(* + i),

więc szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma postać

a + 3    A B C

(z - !)(*» + I) z - 1 z - s + i’

gdzie A.B.C € C. Po sprowadzeniu prawej strony równości do wspólnego mianownika otrzymamy

r + 3 = A(z - i)(x + i) + fi(s - 1)(* + i) + C(z - 1)(* - i).

Podstawiając w otrzymanej równości kolejne pierwiastki mianownika funkcji wymiernej, tj. liczby l.i oraz —i, otrzymamy układ równań

f 4    - >4(1 - t)(l + 0.

< 3 + i - fi(* - 1)2*,

1-3-i m C(-i- 1 )(-#)•

Rozwiązaniem tego okładu równań jest trójka liczb A = 2, B * —1 + C m -1 - i. Szukany rozkład na zespolone ułamki proate ma zatem postać

»+1    » , ~^l+l ,-‘~ł

(z-I)(ż* + l) :-l s — i * + *

c) Ponieważ mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na zespolone czynniki nierozkładalne

z (z³ + 4)* = x (* - 20* (z + 20*. więc szukany rozkład na zespolone ułamki proste ma postać

2ż* + Sz^a + 32    _ A    , B , C    D    E

*(z»+ lf z z^2i ⁺    (z-2i)> ⁺ z+2i ⁺ (z-i-2,r

gdzie ii, fl, C,D,E € C. Po sprowadzeniu prawej strony ostatniej równała do wspólnego mianownika otrzymamy

2*⁴ + 8** + 32 = A(z- 2 i)^a(z + 2i)^a + flz(z - 2i)(z + 2i)³ + Cx(z + 2i)²

+Dx(z - 2i)³(z + 20 + £r(z - 20*.

Stąd

2z⁴ + 8z^a + 32 = (/l + £ + />)z⁴ + (2B. + C-20i+£)z³

+(8/1 + 4B + 4Ci + 4D- 4Ei)x⁷ + (8Bi -4C- 8Di - 4£)z + 16.-1

dla każdego z 6 C. Korzystając teraz z faktu, że dwa wielomiany są równe, gdy ich Stopnic są jednakowe i współczynniki stojące przy jednakowych potęgach zmiennej s są sobie równe, otrzymamy układ równań

A + U !+ D 'i 2,

2iB + C - 2iD + £ = 0,

8/1 + AB + 4iC +4D - 4iE = 8,

SiB - AC — SiD — 4£ = 0,

16/1    '=32.

Rozwiązaniem tego układu jest piątka liczb A = 2, U = 0, C = i, Z) = 0, £ = -i. Siąkany rozkład na zespolone ułamki proste ma zatem postać

2z⁴ + 8z*-+ 32    2    «    -»

>(i*+4)^a I ⁺ (z-20» (z + 2i)²

• Przykład 5.9

Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste:

2    4    .    3x³ + 6

^aJ(i-ł)(*-2)(x-3)^:    ' z³-**¹ C) (i^a + l)(x^J + 4)'

_dx 2x + l    x³ + 3

**(**+1)”    (r + 3)‘^ol>-