103982

Przykład, a)    J®**¹ zespolonym ułamkiem prostym.

b)    jest rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

c)    jest rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste. Każda rzeczywista (zespolona) funkcja wymierna właściwa jest sumą rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych.

1.    Zespolona funkcja wymierna właściwa

_ym_

ĄZ - Zl)^k' {Z - *2)** * • • (Z - 2m)*^m

jest sumą A*i + A2 H----+ A™ zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi

(z — Zi)^k‘ odpowiada suma A, ułamków prostych postaci:

Ai    A2    Al

r^:⁺(rr^⁺--'⁺(7Ti^’

gdzie Ai. A2.....A/c, € C dla i = 1,2,..., m.

2.    Rzeczywista funkcja wymienia właściwa

_ W{x)__

a(x - xi)^fc,(x - X2)^kl •••(* — x_r)^kr(x² + pix + qi)^tl(x² + p2i + 72Y² • • • (x² + p_ax + q_H)¹*

jest sumą A'i + A*2 + • • • + A> rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju i li + h +----ł- /# rzeczywistych ułamków’ prostych drugiego rodzaju, przy czym

•    czynnikowi (x - Xj)*• odpowiada suma A-, ułamków’ prostych pierwszego rodzaju postaci:

^At + ^A*    + ...+

X - X, (x - X,)²    (x - X| )^k* ’

gdzie i4i,i42...., A*, € R dla i = 1,2,... ,r.

•    czynnikowi (x² + pjX + qj)^l> odpowiada suma lj ułamków’ prostych drugiego ro<łzaju |M)staci:

Dix + Ci ^ B2X + O2 ^    ^ BjX + Cj

x² + Pji + qj (x² + PjX + qj)²    (x² + PjX + q_j)ⁱi ’

gdzie Bi. B2.....BijyCu C2,... ,Ci_J € R dła j = 1,2,...,a.

Przykład. Znajdziemy jx*>tać rozkładu zespolonej funkcji wymiernej właściwej (2 - 3i)z⁶ - 4z⁵ + iż³ - 2² + 4i (z + 3)⁴(z² + 4)²

na zespolone ułamki proste.

Ponieważ z² 4- 4 = (z - 2i)(z + 2i), więc wielomian w mianowniku rozważanej funkcji wymiernej ma następujący rozkład na zespolone czynniki nierozkładalne

(z + 3)‘(z² + 4)² = (2 + 3)⁴(z - 2i)²{z + 2i)².

Zatem szukany rozkład na ułamki proste ma postać

(2 - 3«')z⁶ - 4z⁵ + iz³ - z² + 4t A B    C    D E F

(z + 3)⁴(z² + 4)²    “ z + 3 ⁺ (z + 3)^{2 +} (z + 3)^{3 +} (z + 3)^{4 +} z - 2i⁺ (z - 2t)^{2 +}

G    H

⁺ 2 + 2i ⁺ (z + 2t)²

<lla pewnych A. B, C. D. E, F. G. Ha C.

2