img035

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH PRZEZ ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

= In|x-2|-

3    1    .(1 x 1 r <£r )    1 / , x

r⁴    - I¹"*' ⁺¹)⁺²»«S'

2 x² + l

1 3-4* 1, (x-2)² = 2'7+T⁺2 "“tUi ^4arcte*^+c-

f    xdx

3.6. Całkę I j 4 j 2

^J x +x -2x -2x +x+\

obliczamy przez rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste. Wcześniej jednak trzeba rozłożyć mianownik*⁵ + *⁴-2r⁵-2r²+*+lna czynniki liniowe bądź kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem. Korzystamy z twierdzenia 3.1 C oraz ze schematu Homera (twierdzenie 3.3) i otrzymujemy:

		1	1			1	1
x =	1	1	2	0	-2	-1	0
x =	1	1	3	3	1	0
X =	1	1	4	7	8	*0
x =	-1	1	2	1	0

x?+2x+l= (* +1)².

Wobec tego

* *

^ x⁵ + x⁴ -2x -2x + *+1 (*-l)²(*+l)³

ABC    DE, .2/    ,s3

=-_T +-+-r +-5--I---(x-l) (*+l)

(*-l)²    x-\    (* ₊ l)³    (* ₊ l)² 7fl]^{V M} '

x = A[x+\)ⁱ + Z?(*-1){*+1)³ +C(*-1)² + £>(*-1)²(*+1)-i-£(*-1)²(a:+1)² =

= A[x³ + 3*² + 3* +1) + fi(x⁴ + 2x³ - 2x -1) + C(x² -2x+l)+£)(x³-x²-x+l)4-

+ is(x⁴-2x² + l)

a stąd

X^4	B+E = 0	A
X^3	A+2B+D = 0	B
X^2	3A+C-D-2E = 0	• => C
*'	3A-2B-2C-D = 1	D
x°	A-B+C+D+E = 0	E

- (stałą A można wyznaczyć metodą j przesłaniania, kładąc w (»)x= 1) 16

i (stałą C można wyznaczyć metodą przesłaniania, kładąc w (*) x= -1)

35

16'