0429

431

$ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych

Szeregu określającego y jako funkcję x będziemy szukali w postaci

(19)    y — ai x+a₂ x²+a₃ x³ + ...

Przede wszystkim, jeżeli istnieje takie rozwinięcie w otoczeniu zera, to jego współczynniki dadzą się jednoznacznie wyznaczyć z zależności (18).

Rzeczywiście, zastępując w niej y (przy danym założeniu) przez rozwinięcie (19) otrzymujemy

(18a) a₂ x+a₂ x²+a₃ x³ + ... = c₁₀ x+c₂₀ x² +

+ ^cn x (a_x x + a₂ x² + ...) + c₀₂(ai x + a₂ x²+ ...)² + c₃₀ x³ +

+ c₂₁x²(a₁x+ ...) + c₁₂ x (a_t x+ ...)² + c₀₃(a! x + ...)³+ ...

Z twierdzenia ustępu 446 wynika, że dla dostatecznie małych x można tu po prawej stronie wykonać wszystkie potęgowania i przeprowadzić redukcję wyrazów podobnych. Gdy skorzystamy potem z twierdzenia o równości szeregów potęgowych i porównamy współczynniki przy jednakowych potęgach x po lewej i po prawej stronie, to otrzymamy (nieskończony!) układ równań:

^ai ~ ^C10 1

(20)    a₂ = c₂₀+cit <łi+c₀₂ a\ ,

fl₃ = Cu ^a2+2Co₂    fl₂ + C₃₀ + C₂! Ol +C]₂ flf + Co₃ of ,

wiążących szukane współczynniki a_x, a₂, a₃,... , a_n,... Ponieważ po prawej stronie (18) wszystkie wyrazy zawierające y mają wymiar nie niższy niż drugi (tzn. zawierają bądź wyższą potęgę samego y, bądź pierwszą potęgę y pomnożoną przez jakąś potęgę x), więc w n-tym równaniu układu (20) współczynnik a„ wyraża się za pomocą współczynników a_t,a₂,... ,a_n-i o mniejszych wskaźnikach (i znanych współczynników c). To właśnie pozwala na wyznaczenie współczynników a„ kolejno jeden po drugim:

^{= c}io >

(21) a₂ = c₂o + Cj | Cj₀ + c₀₂ c²q ,

0₃ — (Cli +2C₀₂ Cio)(c₂₀ + Cu C|₀ + C₀₂ C²o) + C₃o + C₂₁ Cio + C,2 ^Cio + Co₃ c³o ,

Przy sposobności zrobimy następującą uwagę, którą później wykorzystamy. Ponieważ przy uwalnianiu się od nawiasów w (18a) nie wykonujemy na literach a i c żadnych innych działań oprócz dodawania i mnożenia, więc prawe strony równań (20) są wielomianami względem ai co współczynnikach na pewno dodatnich (a nawet naturalnych). A więc i prawe strony wzorów (21) będą też wielomianami względem c o współczynnikach także dodatnich.

Utwórzmy teraz szereg (19) o współczynnikach a otrzymanych z tych właśnie wzorów. Można o nim powiedzieć, że spełnia on formalnie zależność (18a). Gdybyśmy wiedzieli, że szereg ten jest zbieżny dla dostatecznie małych x, to nie trzeba by już było udowadniać, że przedstawiona przezeń funkcja spełnia warunek (18) gdyż współczynniki tego szeregu