0411

412

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Powyższe zależności określają r, 9, <p jako funkcje zmiennych x, y, z. Aby znaleźć pochodne tych funkcji, obliczmy różniczki zupełne

dx = cosflcos <pdr — rsintłcos ę d0~ r cos # sin <p dtp,

dy=smOcos <pdr + rcos9cos <pd9—r sin Osin <pd<p,

dz = sin<pdr    4 / cos ę dtp.

Wyznaczamy stąd dr, dO i d<p:

r²cosflcos²®    r²sin0cos²w r²sin pcos <p

dr =----dx-\-----dy-i-----dz,

rsinO rcosO

J    J

r cos ć? sin ęcos ę

d0=--_;—dx^J,---_;— dy,

r sin 6 sin <p cos <p rcos" ę dx---dy 4----dz.

Szukane pochodne są tym samym znalezione, mianowicie uwzględniając obliczoną wyżej wartość J mamy

dr ~Bx	=cos#cos <p ,	dr dy	=sin0cos <p,	dr — = sin <p, dz
dO	sin#	d 8	cos 0	d9
~dx	rcos <p	dy	r cos ę’	O II 1 *4 1 ^fC>
dtp	cos 0 sin <p	dtp	sin 8 sin (p	dtp cos <p
dx	r	dy	i r	dz r
■■ zależność między x,		y, z	i r, 9, <p łatwo jest rozwiązał

--.    y    2

x²+y²+z², 8=arctg —,    y=arctg ,    .

*    y/x² + y²

Pozwala to obliczyć wszystkie te pochodne i tym samym sprawdzić znalezione wyniki.

8) Jako ostatni przykład różniczkowania funkcji uwikłanych wyprowadzimy jeszcze jeden wzór, również podkreślający analogię między jakobianem układu funkcji i pochodną jednej funkcji.

Niech będzie dany układ n równań o 2n zmiennych

F_i(x_i,x₂, ...,x_n,y₁,y₂,.,.,y_n) = 0 (1,2, ...,«).

Zakładając, że jakobian

D(F₁,F₂, ...,F_n)

D(yi,y₂, ■••,>0

jest różny od zera, będziemy rozpatrywali y_t, y₂,..., y„ jako funkcje zmiennych x_t, x₂,..., x„ określone tymi równaniami i tym samym zamieniające je w tożsamości. Wynik różniczkowania tych tożsamości względem każdej ze zmiennych Xj możemy napisać w postaci

(*,7=1,2, ..., n) .

-^dh₌ 0£l..    . ^d2i_{+ +}⁸h.^ji

dxj dy_t dxj dy₂ dxj dy_n dx_s