121

240 XI. Szeregi potęgowe

czyli po uporządkowaniu: 1

1    1-3

= l--xH——r^x — 2 2! 2²

1-3-5 .    1 - 3 - 5 - 7

x⁴-...

x +-

Vl +x

Na podstawie kryterium d’Alemberta łatwo obliczyć, że promień zbieżności tego szeregu R= 1.

Zadanie 11.14. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

1

/(*)=•

3!2³

4\2*

VI-X²

Rozwiązanie. Zakładamy, że -1<x<1. Na podstawie poprzedniego zadania mamy

1

1    1-3

1-3-5

= 1 —-U + —-e U²—    "³

Vl+M ‘ 2"'2!2²”    3!2³

Podstawiając u = — x² otrzymujemy żądane rozwinięcie

1

ir + ...

V1 — X

1 ,    1-3 ,    1-3-5 ,

r = 1 + -X H--J X 4--T~ X + ...

.2    2    2!2²    3! 2³

Szereg ten jest zbieżny dla wartości |x²|< 1, tzn. dla |x| < 1, więc promień zbieżności i? = l.

Zadanie 11.15*. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję /(x) = arcsin x.

Rozwiązanie. Zakładamy, że — 1<x<1. Wiemy, że

d    l    , ,

dx

— (arcsinx)=-p== =(1 — x ) *.

Z poprzedniego zadania dla |x| <1 mamy

x⁸ + ...

1    1,1-3, 1-3-5 , 1-3-5-7

-7=—: =1+-X²+-X⁴+-X⁶+-

Jl-_X²    2    2-4    2-4-6    2-4-6-8

W myśl twierdzenia (11.2.6) o całkowaniu szeregów całkujemy obie strony i otrzymujem>

X    XXX

arcsinx=

^c= i 7Tz?^⁼ j ^ut+ j^il2c/t+ J ^^dt+-’ il

którą

gdzie obie strony są funkcjami zmiennej x (r jest zmienną pozorną całkowania, po wykonaniu całkowania zastępujemy granicami). Ostatecznie więc mamy

1 x³ 1-3 x⁵ 1-3-5 x⁷    ,

arcsinx=xH—•--1-----1--•--K.. dla — 1<X<1-

232-45    2-4-6 7

Można wykazać, że wzór ten pozostaje słuszny dla x = — 1 oraz dla x = 1.

Zadanie 11.16. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję /(*) = sin jc cos *. Rozwiązanie. Wiemy, że sin x cos * = ■£■ sin 2x. Weźmy pod uwagę rozwinięcie _p0dane w zadaniu 11.9:

u³ u⁵

_#ażne dla wszystkich u. Podstawiając u = 2x otrzymujemy

.    (2x)³ (2x)⁵ (2x)⁷

sin 2* = 2*----—I——---— + ...

3!

5!

7!

c_tad dla dowolnego * mamy

2²    2⁴    2⁶

sinjccosx = *--jy- x³ +— -X⁵— —X⁷+ ...

Zadanie 11.17. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję /(*) = sin² *.

Rozwiązanie. Zadanie rozwiążemy dwoma sposobami.

Sposób I. Wiemy, że 2 sin² x-1 -cos 2*. Korzystając z rozwinięcia danego w za-| daniu 11.10 dla każdego u mamy

2    4    6

U    U    U

cos u = 1---1----— + ...

2! 4!    6!

Podstawiając u-2x dla każdego x otrzymujemy

(2*)² (2x)⁴ (2x)⁶

cos2*=l--H-----h...

2!    4!    6!

Podstawiając to rozwinięcie do wzoru sin² x = \ (1 —cos 2x) otrzymujemy

sin²*

«yli

4[

(2x)² (2*)⁴ (2*)⁶

2    4!    6

O⁶ (2x)⁸    1

!    8T ⁺ -J’

3    ^5    7

•2    2 ^L 4,^    6    ^    8,

sin X = X--X H--X--X -f...

4!    6!

^zwinięcie to ma miejsce dla każdego x. Sposób II. Obliczamy kolejne pochodne:

8!

f\x) = 2 sin * cos * = sin 2x,	skąd	/(0) = 0,
/"(*) = 2 cos 2x,	skąd	/"(0)=2,
/'"(•*)= — 2^3 sin 2*,	skąd	/"'(0)=0,
/^(4)(x) = - 2^3 cos 2x,	skąd	/^<4)( 0)=-2^3,

Ht

kwiąjąc powyższe wartości do rozwinięcia w szereg Maclaurina i biorąc pod uwagę,