126

250 XI. Szeregi potęgowe

“ u³+5"

"•"⁵- .5,^

“ n! „ 11.47. £ -55 *•

n = 0 #

oo

n— 1

n.49. K-iy

n = 1

“ (x-a)ⁿ 11.51. I -5--

fl=* 1 W

* (2x + l)"

11-53. Z^-

»-i 3n — 2

to    fv_4'\²ⁿ⁺¹

y.	11.46.	£ (n!)^3
		nh (3n)!
		00
(a>l).	11.48.	Z (-2)".
		n = 0
v2n — 1		co
2n — 1	11.50.	Z(-i)" /i = 0

(*-i)"

..2/1

3"^Tl(n + l) Vn + 1

11.52. Z -j

- -^/t.

ti2"(2n-i)

2n+ 1

Określić przedział zbieżności szeregu i znaleźć jego sumę (zad. 11.56 - 11.60):

co Yⁿ

11.56. Z—.

n = 1 W

11.58. Z (3»+ !)*"■

n = 0

11.57. Zfa + D*"-

n = 0

<» r_nⁿv^2w+1

H.59. Z    --

n = o    2n + l

11.60. Z(-l)"(²ⁿ + l)* • 11.61. Wykazać, że

- (n + l)(n+2)(n+3)    1

n = 0

£-ii—*-(T^r

11.62. Otrzymać nowe rozwinięcie przez zróżniczkowanie związku dla |x| < 1

1    “

—--- Z^^_1-

1-X „tl

(zad-

00

Za pomocą całkowania szeregu Z ^JC""¹ znaleźć sumę następujących szeregów

n = 1

11.63 - 11.64):

11.63*. Z-„•

»=in • 3

11.64*. Z

(-1)" o 3n + l

11.65. Podnieść do kwadratu szereg Z ^an^x"•

« = 0

CO

11.66.    Podnieść do trzeciej potęgi szereg £ x".

n = i

Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina (zad. 11.67 - 11.88):

11.67.    f(x)=e~^x\

11.69.

2

11.71. /(x) =

.68. /(x) =

11.70. /(x) =

3—x 1

11.73. /(x) = l n

(l-x)³' l+x

1 —x

11.75. /(x) = ln(2-3x4-x²). 11.77. /(x) = coshx=f(e^x4-e"^x).

11.79. f(x) = e~^xsinx.

11.81. /(x) =cos² x.

11.83. /(x) =

(1 +x)² 11.72. /(x) = ln(l4-x).

11.74. /(x) = ln(l — x + x²).

11.76. /(x) = sinhx=5(e^x-e^_x). 11.78. /(x) = e^xln(l+x). cosx

11.80. /(x) =

l4-x

11.82. /(x) = Vl4-x. 11.84. /(x) = arctgx.

(1-x)(14-2x)

11.85. f$x) = ±(e^x +e~^x + 2cosx).

11.87. f(x) = a*, a> 0.

11-89. Napisać 7 początkowych wyrazów wzoru Taylora dla funkcji/(x) = tg² x, w oto-Seniu punktu x=0.

11-90. Napisać wyrazy wzoru Taylora dla funkcji

/(*)=—7“» cos X

.    W6)/₀)

boczeniu punktu x=0, do    x⁶ włącznie.

^•91. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

— 5x⁴ — lx² +1

11.86. /(x) =

— ję3

£ —X

2x³

11.88*. /(x) = ln(x4-\/T+x²).

/(*)=■

2x³ —3x4-1

*d₀

^'razu

/ (O)

6!

x⁶ włącznie.