118 2

234 XI. Szeregi potęgowe

Zadanie 11.4. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego

“ n"    „    1    2²    ₂ 3³    ₃ 4⁴    ₄

V —y =— xł-r-t ł-ir H—7 x +... „t“i 2"    2    2²    2^}    2⁴

Rozwiązanie. Mamy tu a„ = n"j2ⁿ. Stosujemy kryterium Cauchyego (11.1.4); manty

/-    r^~ ⁿ

lim ya_n= lim ⁿl — = lim—*= + oo, czyli fl=0,

n -»ct)    n — CS) ' ~    II -* co ^

a więc szereg jest rozbieżny dla każdej wartości x#0.

Zadanie 11.5. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego

y( sin — ) = xsin 1 + x‘sin4 + x^Jsin3 + .

Rozwiązanie. Mamy tu a„ = sin —, a_n+, =sin - . a więc

n    n +1

sin

I

a. ₊1    n 4-1

lim-= lim- = lim

O-n n-.n\

1    I

— sin-

n    n +1 n

n -* cc    n-*co

1

I n +1

= 1, czyli R = I

sin •

i sin —

n

n n +1

Gdy x=l, otrzymujemy szereg Y sin — (por. zad. 3.10) rozbieżny, a gdy x=-l,

n= i n

“    1

otrzymujemy szereg Y (— l)"sin zbieżny na podstawie kryterium Leibniza.

n= i    n

Zadanie 11.6. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego X (2+(-l)'^,)x" = 3+x + 3x²+x^:!+3x⁴+x⁵+...

n = 0

Rozwiązanie. Z postaci szeregu widać bezpośrednio, że stosunek a„ + Ja„ przybiera na przemian wartości j i 3, nie możemy więc stosować twierdzenia (11.1.3). Możem) jednak zastosować twierdzenie (11.1.4); na podstawie wzoru lim \Ia_n — 1 dla fl>0 otrzy

n-* co

mujemy

lim "s/a_n = 1, czyli R = 1.

n -* oo

Gdy x = — 1 albo x=l, szereg jest rozbieżny.

Zadanie 11.7. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego

co

X (^sin ")*"•

fl — 1

Rozwiązanie. Stosowanie podanych wzorów na promień zbieżności nie daje tutaj _r{Zu!tatu. Spróbujmy zastosować kryterium bezwzględnej zbieżności. W tym celu ba-zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu, flrjemy, ^że wartość bezwzględna iloczynu równa się iloczynowi wartości bezwzględnych wszystkich czynników, więc

(2)    z K^sin«) -*"i = z i^s>ⁿ «i • i*r-

»= 1    n= 1

ao

ffa podstawie nierówności |sin n\ < 1 mamy |sin n\■ \x\" < |jc|”. Szereg £ |.v|ⁿ, jako szereg

n = 1

geometryczny, jest zbieżny dla |.v|<l, a więc na podstawie kryterium porównawczego szereg (2) jest zbieżny, a tym samym szereg (1) jest bezwzględnie zbieżny dla |x| < 1. Wykazaliśmy więc, że promień zbieżności R szeregu (1) spełnia nierówność R^l.

00

Gdy -v= 1, szereg (1) przybiera postać £ sin n. Szereg ten jest rozbieżny, gdyż nie jest

n = l

spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu, tzn. nie istnieje granica lim sin n. Z roz-

II ”♦00

bieżności tego szeregu wynika nierówność 1, co w połączeniu z nierównością R^l, daje R= 1-.

Na koniec zauważmy, że dla x = — 1 szereg (1) jest rozbieżny.

§ 11.2. ROZWIJANIE FUNKCJI W SZEREG POTĘGOWY

Jeżeli funkcja /(x) ma n-tą pochodną f^M(x) w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt a, wówczas dla każdego x z tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora:

(U.2.1)    f(_x)=f(a)+Ł^(_x-a) + £~(x-a)² + ...

/^(n)    ,

n!

Idzie a<c„<x przy x>a i x<c„<a przy x<a.

We wzorze Taylora przedstawiamy funkcję jako sumę o/i+l składnikach (skończona ilość).

W ostatnim wyrazie występuje liczba c_B, której wartość jest na ogół dla każdego x i n '^nna- Więc c„ jest nieznaną bliżej funkcją x i należałoby właściwie pisać c„(x). Oznaczenie ^C* c jest skrótem. Ostatni wyraz we wzorze Taylora oznaczamy przez R„:

n!

, ^nazywamy resztą wzoru Taylora. Reszta przez nas podana nosi nazwę reszty postaci '⁹8range'a.