0270

272

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

(1)

**+1

+... +

(*+D

kr].

którego wyrazy zmieniąją po kolei znak.

Łatwo ustalić nierówność

_J_<JL+_J_₊...₊

k+i    k²    *^ł+i

*²+*

+... +

»_<A.

(*+l)^ł-l k ’

*+i

a suma ostatnich k+1 składni

na przykład suma k pierwszych składników jest mniejsza niż k^- — -i-

1

k²+k

ków jest mniejsza niż (&+1)

=    , a zatem cała suma jest rzeczywiście mniejsza od 2jk. Stąd

wnosimy, że bezwzględne wartości wyrazów szeregu (1) maleją monofonicznie i dążą do zera. Na mocy twierdzenia Leibniza szereg (1) jest więc zbieżny, a zatem zgodnie z powyższą uwagą jest zbieżny badany szereg.

387. Prawo przemienności szeregów bezwzględnie zbieżnych. Niech będzie dany szereg zbieżny (A) o sumie A. Przestawiając w nim wyrazy w dowolny sposób otrzymujemy nowy szereg

(A*)    ⁼    ••• +^fl*+ •••

*=i

Każdy wyraz a'_k tego szeregu jest identyczny z pewnym wyrazem a„_t szeregu wyjściowego, ciąg {n*} wyczerpuje przy tym bez powtórzeń w innym porządku cały ciąg liczb naturalnych.

Powstaje pytanie, czy szereg (A') jest zbieżny, a w przypadku zbieżności, czyjego suma jest równa sumie A szeregu wyjściowego. Przy rozpatrywaniu tego pytania będziemy musieli przeprowadzić ostre rozróżnienie między szeregami zbieżnymi bezwzględnie i zbieżnymi warunkowo.

TWIERDZENIE. Jeżeli szereg (A) jest zbieżny bezwzględnie, to szereg (A') otrzymany z niego przez przestawienie wyrazów jest również zbieżny i ma tę samą sumę A, co i szereg wyjściowy. Innymi słowy: szereg bezwzględnie zbieżny ma własność przemienności.

Dowód, (a) Dowód przeprowadzimy w dwóch krokach. Załóżmy najpierw, że szereg (A) ma wszystkie wyrazy nieujemne.

Rozpatrzmy dowolną sumę częściową A'_k szeregu (A')- Ponieważ a[ = a_Hl, a'₂ = a_n2, ..., a'_k = a,*,

biorąc ri większe od wszystkich wskaźników n_ltn₂,...,n_k będziemy oczywiście mieli A'_k < A_h, a więc tym bardziej

Ai<A.

W takim razie szereg (A') jest zbieżny [365] i jego suma A’ nie przewyższa A:

A'^A.

Także szereg (A) powstaje jednak z szeregu (A') przez przestawienie wyrazów, a zatem analogicznie jest

A