0306

308

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

2) Niech {¹„} będzie dowolnym ciągiem, którego wyrazy są zawarte w przedziale (0, tc/2). Wówczas iloczyny

sin x, Xn

są zbieżne lub rozbieżne w zależności od tego, czy szereg ^ x\ jest zbieżny czy rozbieżny.

n. 1

Załóżmy najpierw, że x_n -¹■ 0. Wówczas wnioski te wynikają z 5° i 7°, jeśli oprzemy się na rozwinięciach [125, 2) i 3)]

cos x_m = 1 - 4 ^xt+° (•¹«)    ^{1 S}-^nJf" = 1 — -j-    +0 (■¹?>•

2    "    "    y    O ■    ■

Jeśli zaś x„ nie dąży do zera, to równocześnie jest rozbieżny i szereg i obydwa iloczyny mają wartości zerowe (¹)•

3)    Z teorii iloczynów nieskończonych łatwo uzyskać twierdzenie Abela:

<30

Jeżeli    a, jest danym szeregiem o wyrazach nieujemnych, a A, oznacza jego sumę częściową, to sze-

R-l

CO

reg -f- jest zbieżny lub rozbieżny równocześnie z danym szeregiem [porównaj 375, 4)]. Dowodu wy-

maga tylko przypadek rozbieżności. Jeżeli A, -¹■ oo, to iloczyn nieskończony fj 11 —^-1 = [J

„_2 V A_n] _n_₂ A,

oo

jest rozbieżny do zera, a wówczas na mocy 5° szereg ^ aJA_n jest rozbieżny.

R-l

4)    Rozpatrzmy ważny iloczyn

Niżej, w ustępie 408, zobaczymy, że przedstawia on funkcję sin x. Niech będzie x^kn, gdzie k = 0, ± 1,

±2,...

X²

Jego zbieżność (oczywiście bezwzględna) wynika od razu ze zbieżności szeregu V , , . Jeśli roz-

. n tz

it—i

bijemy każdy czynnik na dwa i napiszemy iloczyn w postaci

x

to ponieważ 1---¹■ 1, zbieżność zachowa się przy tym uporządkowaniu; zachowa się też wartość

rrn

iloczynu. Ale tym razem zbieżność nie będzie bezwzględna, gdyż szereg

_ X_    -)- X_    _    ^1    1    _    _ X    X    _

7t 7r 27t    2tt    nK    im

nie jest bezwzględnie zbieżny, wobec tego czynników tych nie można dowolnie przestawiać.

1

To, że obydwa iloczyny mają wartości skończone, wynika z tego, że ich czynniki są ułamkami właściwymi. Wartości tych iloczynów nie mogą być jednak różne od zera, bo nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności [3°],