2 (2700)

IMIĘ, NAZWISKO: GRUPA:

EGZAMIN Z MATEMATYKI, 26.06.2006

ZADANIA:

1. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję f(x) = ln(l 4-jc) i znajdź obszar zbieżności uzyskanego szeregu.

2a. Na płaszczyźnie określ dowolną metrykę nieeuklidesową i narysuj w tej przestrzeni metrycznej okrąg o środku w środku układu i promieniu 1.

2b. Podaj definicję punktu wewnętrznego danego zbioru.

3a. Z definicji pochodnej cząstkowej wyprowadź wzór na ~^[u{x,y)]_f gdy u(x,y) = -y. 3b. Podaj definicję maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych oraz podaj przykład funkcji f{x,y) mającej maksimum lokalne.

4. Oblicz, na dwa różne sposoby (w tym raz stosując wzór Greena), całkę krzywoliniową \₍ydx + xdy po okręgu l :x²+y² = 1 zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara od punktu (1,0) do (1,0). Czy (i dlaczego) wynik by się zmienił, gdybyśmy całkowali po innej krzywej / o początku w (1,0) i końcu w (1,0)?

5a. Oblicz całkę potrójną po dowolnym zbiorze z dowolnej funkcji, ale wybranej tak, by wynik całkowania był liczbą ujemną.

5b. Oblicz jakobian "przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych.

. 6a. Kiedy szereg nazywamy rozbieżnym?

OO

6b. Udowodnij kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu dla przypadku, gdy

«-!

lim^ > 1.

7.    Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach ,4(0,1,2), R(l, 1,3), C(2,2,2),

D(3,2,1). Ponadto napisz w postaci kierunkowej i parametrycznej równanie prostej przechodzącej przez punkt D i prostopadłej do płaszczyzny ABC.

8.    Udowodnij twierdzenie, że iloczyn skalarny wektorów o danych współrzędnych liczymy tak: [x_p,y_p,z_p] o [x_q,y_q,z_q] = x_px_q +y_py_q + z_pz_q.

9a. Co należy podstawić w równaniu y' = J{ax + by + c), aby otrzymać równanie o zmiennych rozdzielonych? Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

9b. Rozwiąż dowolne równanie różniczkowe pierwszego rzędu z dowolnie wybranym warunkiem początkowym.

lOa. Co należy podstawić w równaniu y" = j\y,y') aby otrzymać równanie pierwszego rzędu. Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

lOb. Rozwiąż równanie: y^w -y¹ — 7.