5 (1938)

IMIĘ, NAZWISKO: GRUPA:

EGZAMIN Z MATEMATYKI, 26.06.2006

ZADANIA:

1.    Udowodnij twierdzenie, że iloczyn skalarny wektorów o danych współrzędnych liczymy tak: [x_a,y_a,z_a] ° [x_b,yb,Zb] = x_ax_b +y_ayb + z_az_b.

2.    Czy punkty /i(0,1,2), 5(1,2,3), C(2,2,2), Z)(2,3,4) leżąw jednej płaszczyźnie? Jeżeli nie, to oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach A, B, C, D. Ponadto napisz

w postaci kierunkowej i parametrycznej równanie prostej przechodzącej przez punkt D i prostopadłej do płaszczyzny ABC.

3a. Na płaszczyźnie określ dowolną metrykę nieeuklidesową i narysuj w tej przestrzeni metrycznej okrąg o środku w środku układu i promieniu 1.

3b. Podaj definicję punktu wewnętrznego danego zbioru.

4a. Z definicji pochodnej cząstkowej wyprowadź wzór na -Jj[u(x,y)], gdy n(x,y)=yjx.

4b. Podaj definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych oraz podaj przykład funkcji J[x,y) mającej minimum lokalne.

5. Oblicz, na dwa różne sposoby (w tym raz stosując wzór Greena), całkę krzywoliniową \_{xdx —ydy po okręgu l : x² +y² = 1 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od punktu (1,0) do (1,0). Czy (i dlaczego) wynik by się zmienił, gdybyśmy całkowali po innej krzywej / o początku w (1,0) i końcu w (1,0)?

6a. Oblicz całkę potrójną po dowolnym zbiorze z dowolnej funkcji, ale wybranej tak, by ‘ wynik całkowania był liczbą ujemną.

6b. Oblicz jakobian "przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych.

7a. Kiedy szereg nazywamy zbieżnym?

00

7b. Udowodnij kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu dla przypadku, gdy

n=l

limynir < 1.

8. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję f{x) = ln(l +x) i znajdź obszar zbieżności uzyskanego szeregu.

9a. Co należy podstawić w równaniu y' =j{£), aby otrzymać równanie o zmiennych rozdzielonych? Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

9b. Rozwiąż dowolne równanie różniczkowe pierwszego rzędu z dowolnie wybranym warunkiem początkowym.

lOa. Co należy podstawić w równaniu y" =J[x,y') aby otrzymać równanie pierwszego . rzędu. Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

1 Ob. Rozwiąż równanie: yW + y' = 1.