4 (2172)

IMIĘ, NAZWISKO:

GRUPA:

EGZAMIN Z MATEMATYKI, 26.06.2006

ZADANIA:

la.    Co należy podstawić w równaniu y' = f{ax + by + c), aby otrzymać równanie o zmiennych rozdzielonych? Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

lb.    Rozwiąż dowolne równanie różniczkowe pierwszego rzędu z dowolnie wybranym warunkiem początkowym.

2a. Co należy podstawić w równaniu y" = /(y,/) aby otrzymać równanie pierwszego rzędu. Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

2b. Rozwiąż równanie:    -y¹ = 9.

3a. Na płaszczyźnie określ dowolną metrykę nieeuklidesową i narysuj w tej przestrzeni metrycznej okrąg o środku w środku układu i promieniu 1.

3b. Podaj definicję zbioru otwartego.

4. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję jlx) = ln(l + x) i znajdź obszar zbieżności uzyskanego szeregu.

5a. Z definicji pochodnej cząstkowej wyprowadź wzór na ~[g(x,jy)], gdy g(x,y) = x+ Jy .

5b. Podaj definicję maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych oraz podaj przykład funkcji j{x,y) nie mającej żadnego ekstremum lokalnego.

6.    Udowodnij twierdzenie, że iloczyn skalamy wektorów o danych współrzędnych liczymy tak: [x_p,y_p,z_p] o [x_q,y_q,z_q] = x_px_q +y_Py_q + z_pz_q.

7.    Oblicz, na dwa różne sposoby (w tym raz stosując wzór Greena), całkę krzywoliniową J _iydx + xcły po okręgu / : x² +y² - 1 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od punktu (1,0) do (1,0). Czy (i dlaczego) wynik by się zmienił, gdybyśmy całkowali po innej krzywej l o początku w (1,0) i końcu w (1,0)?

8a. Oblicz całkę potrójną po dowolnym zbiorze z dowolnej funkcji, ale wybranej tak, by wynik całkowania był liczbą ujemną.

8b. Oblicz jakobian "przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych.

9a. Kiedy szereg nazywamy rozbieżnym?

CO

9b. Udowodnij, że jeśli a„ > 0 i Hm > 1, to szereg ^a_n jest rozbieżny.

n= 1

10. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach ^4(0,1,2), 5(1,1,3), C(2,2,2),

D(3,2,1). Ponadto napisz w postaci kierunkowej i parametrycznej równanie prostej przechodzącej przez punkt D i prostopadłej do płaszczyzny ABC.