3 (2505)

IMIĘ, NAZWISKO: GRUPA:

EGZAMIN Z MATEMATYKI, 26.06.2006

ZADANIA:

la.    Na płaszczyźnie określ dowolną metrykę nieeuklidesową i narysuj w tej przestrzeni metrycznej okrąg o środku w środku układu i promieniu 1.

lb.    Podaj definicję zbioru otwartego.

2. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję j{x) = ln(l +x) i znajdź obszar zbieżności uzyskanego szeregu.

3a. Z definicji pochodnej cząstkowej wyprowadź wzór na -^[g(x,y)]_} gdy g(x,y) = x— Jy.

3b. Podaj definicję maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych oraz podaj przykład funkcji f[x,y) nie mającej żadnego ekstremum lokalnego.

4.    Udowodnij twierdzenie, że iloczyn skalarny wektorów o danych współrzędnych liczymy tak: [xp,y_p,z_p] o [x_q,y_q,z_q] = x_px_q +y_py_q + z_pz_q.

5.    Oblicz, na dwa różne sposoby (w tym raz stosując wzór Greena), całkę krzywoliniową J^ydx + xdy po okręgu / : x² +y² = 1 zorientowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od punktu (1,0) do (1,0). Czy (i dlaczego) wynik by się zmienił, gdybyśmy całkowali po innej krzywej l o początku w (1,0) i końcu w (1,0)?

6a. Oblicz całkę potrójną po dowolnym zbiorze z dowolnej funkcji, ale wybranej tak, by wynik całkowania był liczbą ujemną.

6b. Oblicz jakobian "przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych.

7a. Kiedy szereg nazywamy rozbieżnym?

00

7b. Udowodnij, że jeśli a_n> 0 i 1im {aC > 1, to szereg ^a„ jest rozbieżny.

n=l

8. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach ,4(0,1,2), 5(1,1,3), C(2,2,2),

D{3,2,1). Ponadto napisz w postaci kierunkowej i parametrycznej równanie prostej przechodzącej przez punkt D i prostopadłej do płaszczyzny ABC.

9a. Co należy podstawić w równaniu / =J{ax + by + c), aby otrzymać równanie o , zmiennych rozdzielonych? Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

9b. Rozwiąż dowolne równanie różniczkowe pierwszego rzędu z dowolnie wybranym warunkiem początkowym.

lOa. Co należy podstawić w równaniu y" = f[y,y') aby otrzymać równanie pierwszego rzędu. Odpowiedź uzasadnij, tzn. wykonaj odpowiednie podstawienie i przekształcenia.

lOb. Rozwiąż równanie: y^ -y' = 8.