018 2

la

- (2/?³ + 9n² + 13/? +■ 6) =

6

Po wykonaniu działań porównujemy lewą i prawą stronę równości.

^■Zn> _{+ 1}i-W ₊ i-13n₊|<-

1 , 3 ,    13

-n³ + -«² + — n -M 3    2    6

Zatem L = P

Na podstawie pierwszego i drugiego kroku indukcyjnego twierdzenie zachodzi dla każdego n e N.

ZADANIE 7

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n^} + 2// jest podzielna przez 3.

Dowód:

Pierwszy krok indukcyjny (sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla początkowej liczby naturalnej).

Niech n — 1, Wtedy    Wstawiamy do n³ + 2n w miejsce n jedynkę

i sprawdzamy, czy otrzymana liczba jest podziel-P + 2^,l = l + 2 = 3    na przez 3.

Otrzymana liczba 3 jest podzielna przez 3.

Drugi krok indukcyjny (sprawdzamy, czy jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to czy jest też prawdziwe dla następnej liczby naturalnej, czyli n+ 1).

Do wzoru i? + 2nw miejsce /(wstawiamy n + 1

(ll + l )³ + 2 (/! + l ) =    i wykonujemy zaznaczone działania.

Korzystamy ze 'wzoru:

= n³ -i- 3n² + 3/7 + 1 + 2n + 2 =    (x + j)³ = a³ + 3x>y + 3xy + y³.

Otrzymaną sumę trzeba teraz zapisać, tak by ₌    + 9_fl    4.    + 3    wykorzystaćfakt, że rt + 2rrjestpodzielne przez

_. ~ .    -    -    -    3 (założenie indukcyjne).

zgodnie z założeniem indukcyjnym liczba ta jest podzielna przez 3.

Zauważmy teraz, że każdy składnik otrzymanej sumy jest podzielny przez trzy. n³ -l- 2n jest podzielne (na mocy założenia indukcyjnego; 3/i\ 3n, 3 też są podzielne przez trzy, bo każdy z tych wyrazów jest bądź trójką, bądź ilorazem trójki i n (lub n²). Skoro każdy zc składników sumy jest podzielny przez trzy, zatem cała suma też jest podzielna przez trzy.

18