3685665578

Zadanie 13. Wykonać działania, stosując przedstawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:

a) (i+i)*",b) (i+iV3)“,c) (+j,)¹⁹“ d)

Rozwiązanie, a) Na mocy zadania 12 b) mamy, że 1 + i = y/2 • (cos ^ + i sin j). Zatem ze wzoru de Moivre’a (1+i)¹⁰ = (\/2)¹⁰-(cos ij^+isin ^p) = 2⁵-(cos(27r+|)+isin(27r+|)) = 32-(cos f+ż sin |) = 32i.

b) Na mocy zadania 12 c) mamy, że 1 + iy/3 = 2 • (cos ^ -1- i sin ^). Stąd ze wzoru de Moivre’a (1 + i\/3)¹⁵ = 2¹⁵ ■ (cos 157T + i sin 157t) = 2¹⁵ • (cos ir + i sin n) = —2¹⁵ = 32768.

c)    Mamy, że (,    )    ⁼ (i+Ti/5)¹⁸⁹⁸'    H"* ⁼ V^(cos j-I-i sin j) oraz l+iy/3 = 2-(cos ^+isin ^),

więc ze wzoru de Moivre’a (1 + i)¹⁹⁹⁶ = (\/2)¹⁹⁹⁶ (cos 4997T + i sin4997r) = 2⁹⁹⁸(cos7t + isin7r) = —2⁹⁹⁸ oraz (1 + iV3)¹⁹⁹⁶ = 2¹⁹⁹⁶(cos ^f ^ + i sin = 2¹⁹⁹⁶(cos(664tt +    ) + i sin(6647r +    )) =

2¹⁹⁹⁶(cos4^ + isin^) = 2¹⁹⁹⁶(cos7r + isin7r)(cos| + śsinf) = 2¹⁹⁹⁶ • (—1) • (| + i^). Zatem

/    . \ 1996    ₉₉₈    r    r

V 1 Wś) ⁼ 2^lttu'¹(c<^²f+isin f) ⁼ Ws(.^cos(-%) +*^sin(^-f)) = 5^(1 +ⁱ2 ) ^{= -}2^ ^- 5™*-

d)    Oznaczmy 2 = ^    --1- ^    oraz z\ = ^    , ^z2 = ^—■    Wtedy z własności

sprzęgania liczb zespolonych    zT = z₂.    Zatem z = z\ + zi =    2re(zi). Ponadto    (1 — i)²    = 1 — 2i — 1 = —2i,

więc (1 - i)⁴ - (—2i)² = 4i² = -4 oraz (1 — i)²⁰ — (—4)⁵ = —2¹⁰. Z zadania 12 c) mamy, że —1 -ł-ż-s/3 = 2• (cos Tp +i sin ^), więc ze wzoru de Moivre’a (—l+i\/3)¹⁵ = 2^ł5(cos 107r+isin 107r) = 2¹⁵. Zatem z\ =    = -2⁵ = —32. Stąd z = -64.

Zadanie 14. Obliczyć bez pomocy tablic pierwiastki 3-go stopnia z następujących liczb zespolonych:

a) 1, b) —1, c) i, d) —i.

Rozwiązanie, a) Należy wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z takie, że z³ = 1, czyli takie, że 0 = z³ — 1 = (z — l)(z² + 2 + 1). Stąd 2 = 1 lub z² + 2 + 1 = 0. A = 1 - 4 = -3, \/A = y/3i, zi =    ²2 = ~¹^ⁱ-

Odp. 1, -i + i&,    - i&.

b)    Należy wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z takie, że z³ = —1, czyli takie, że 0 = z³ + 1 = (z + l)(z² — 2 + 1). Stąd 2 — — 1 lub z² — 2 + 1 = 0. A = 1 — 4 = —3, y/A = y/3i. Zatem z\ =

2₂=i±^.

Odp. -1, | - i&, i + i

c)    Ponieważ i = cos f + * sin ^, więc ze wzorów na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej

zapisanej w postaci trygonometrycznej uzyskujemy, że szukane liczby to z* = cos ² ₃ ” + i sin ² ₃ ^-łr, k = 0,1,2. Zatem 2o = cos ^+isin ^ = ^ + ^i, zi = cos ^?+isin    2₂ = cos ^+isin =

Odp. -^ +    ^    —i-

d)    Dla 2 € C mamy, że z³ = —i wtedy i tylko wtedy, gdy (—z)³ = i. Zatem z c) mamy Odp. - 5*, ^ ~ \i, i-

8