0259
261
§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych
381. Szeregi naprzemienne. Zajmiemy się teraz szeregami, których kolejne wyrazy mają na przemian znaki dodatni i ujemny. Szeregi takie wygodnie jest zapisywać w ten sposób, żeby znaki były wyraźnie wskazane, na przykład
(7) Ci-Ci+Cs-c^ ... +(-l)"-1c„+ ... (c, > 0).
Jeżeli ponadto bezwzględne wartości wyrazów takiego szeregu maleją monotonicznie
(8) cn+1 < cK (n = 1,2,3,...) i dążą do zera
lim cn = 0 ,
to szereg nazywa się naprzemienny.
Dla szeregów naprzemiennych zachodzi następujące proste twierdzenie:
Twierdzenie Leibniza. Szereg naprzemienny jest zbieżny.
Dowód. Sumę częściową parzystego rzędu C2m można napisać w postaci C2m = (cl — C2) + (c3 — c*)+ ••• +(c2m-l —c2m) •
Każdy z tych nawiasów jest na mocy (8) liczbą dodatnią, wobec tego widać stąd jasno, że wraz ze wzrostem m rośnie także suma ^'2m‘ Jeżeli z drugiej strony przepiszemy C2m w postaci
C2m — Ci—(C2 —C3j— ... —(,C2m-2 — C2m-1) — C2m,
to łatwo widać, że sumy C2m są ograniczone od góry
Cjm < C1 •
W takim razie na mocy twierdzenia o ciągu monotonicznym [34] suma częściowa C2m ma przy nieograniczonym wzroście m granicę skończoną
lim C2m = C.
m-co
Przejdźmy do sumy częściowej rzędu nieparzystego C2m-1 . Będzie oczywiście ^2m“l — = Clm +c2m. Ponieważ wyraz ogólny dąży do zera, jest także
lim C2m-1 = C .
Stąd wynika, że C jest sumą danego szeregu.
Uwaga. Widzieliśmy, że sumy częściowe rzędu parzystego C2m dążą do sumy C rosnąc. Pisząc C2m~2 w postaci
Cim-i = ct — (c2—c3)— ... — (c2m-2 — C2m-i) ,
stwierdzamy łatwo, że sumy częściowe rzędu nieparzystego dążą do C malejąc. Jest więc zawsze
c2m < C < C2m-i.
W szczególności można stwierdzić, że
i •
0 < C < c
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
img192 192 Zajmiemy się teraz wyznaczeniem widma gęstości mocy procesu (1.5.1). W tym celu znajdujem
16 3. Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody Zajmiemy się teraz pytaniem, jak „wyprodukować
Image38 (9) ProgramowanieAlokacja znakówspecjalnych Zajmiemy się teraz elementem, który jest główną
SWScan00081 M8_ KONTRAKTY TERMINOWE f OPCJE M8_ KONTRAKTY TERMINOWE f OPCJE Przykłady Zajmiemy się t
005 2 84. Zeemanowskie widmo EPR atomu i cząsteczki Zajmiemy się teraz niesparowanym elektronem znaj
Zajmiemy się teraz interpretacją geometryczną pewnych pojęć wprowadzonych w teorii liczb zespolonych
Rozdział 4Elementy teorii miary Zajmiemy się teraz całkowaniem funkcji wielu zmiennych. Czytelnik wi
005 2 4.Zeemanowskie widmo EPR atomu i cząsteczki Zajmiemy się teraz niesparowanym elektronem znajdu
[jaźń]01 JAŻS 1 Zajmiemy się teraz problemem, czy wzrost świadomości spowodowany przez wycofanie nic
Szeregi naprzemienne. Kryterium całkowe zbieżności szeregów w badaniu zbieżności całek niewłaściwych
255 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych rzecz do badania zbieżności szeregu dodatniego. Jeżeli wyrazy
§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych 257 U* -1). Jest tu Ul dla — 1 < x < 1, <2>* = ■ - dla
259 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych Niech teraz zbiór {
263 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych 3) Rozpatrzmy szereg 2 (-!)■ sin £ dla dowolnego
265 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych Łatwo zauważyć, że jeśli czynniki oc, nie rosną i są dodatnie,
więcej podobnych podstron